Exercice 18

1. (a) Soit $x \in \mathbb{R}$. Posons $y = -x$ : alors $x + y = 0$. La proposition est $\boxed{\textbf{Vraie}}$

(b) Supposons qu'un tel $y$ convienne pour tous les $x$. Pour $x = 0$ il donnerait $y = 0$, pour $x = 1$ il donnerait $y = -1$ : c'est impossible. La proposition est $\boxed{\textbf{Fausse}}$

2. (a) Soit $x \in \mathbb{R}$. Posons $y = 0$ : alors $xy = 0$. La proposition est $\boxed{\textbf{Vraie}}$

(b) Posons $y = 0$. Pour tout réel $x$, on a $xy = 0$. La proposition est $\boxed{\textbf{Vraie}}$

Ici, un même $y$ convient pour tous les $x$ : les deux propositions sont vraies. Avec la question 1, on dispose donc d'un exemple où elles diffèrent et d'un exemple où elles coïncident.

3. Supposons $\exists y \in \mathbb{R},\; \forall x \in \mathbb{R},\; P(x\;;y)$, et notons $y_{0}$ un tel réel : on a donc $P(x\;;y_{0})$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Soit maintenant $x \in \mathbb{R}$. Le réel $y_{0}$ vérifie $P(x\;;y_{0})$, donc il existe bien un réel $y$ tel que $P(x\;;y)$. Ceci valant pour tout $x$ : $$\boxed{\Big(\exists y \in \mathbb{R},\; \forall x \in \mathbb{R},\; P(x\;;y)\Big) \;\Longrightarrow\; \Big(\forall x \in \mathbb{R},\; \exists y \in \mathbb{R},\; P(x\;;y)\Big)}$$

4. On conclut : $$\boxed{\text{Dans } \forall x,\, \exists y, \text{ le réel } y \text{ peut dépendre de } x, \text{ alors que } \exists y,\, \forall x \text{ impose un même } y \text{ pour tous.}}$$ La question 1 le montre : le seul $y$ possible est $y = -x$, qui change avec $x$.