Exercice 17

1. Dire que $f$ est majorée, c'est dire qu'il existe un réel qui majore toutes les valeurs de $f$ : $$\boxed{\begin{array}{l} f \text{ majorée : } \exists M \in \mathbb{R},\; \forall x \in \mathbb{R},\; f(x) \leqslant M \\[1mm] \text{Négation : } \forall M \in \mathbb{R},\; \exists x \in \mathbb{R},\; f(x) > M \end{array}}$$

2. La proposition porte sur toutes les valeurs de $f$ : $$\boxed{\begin{array}{l} f \text{ ne s'annule jamais : } \forall x \in \mathbb{R},\; f(x) \neq 0 \\[1mm] \text{Négation : } \exists x \in \mathbb{R},\; f(x) = 0 \end{array}}$$

3. La proposition porte au contraire sur une valeur de $f$ : $$\boxed{\begin{array}{l} f \text{ n'est pas la fonction nulle : } \exists x \in \mathbb{R},\; f(x) \neq 0 \\[1mm] \text{Négation : } \forall x \in \mathbb{R},\; f(x) = 0 \end{array}}$$

Piège : les propositions 2 et 3 sont souvent confondues, alors qu'elles sont la négation l'une de l'autre. « Ne s'annule jamais » porte un $\forall$, « n'est pas la fonction nulle » porte un $\exists$.

4. Chaque entier naturel doit être atteint, par un antécédent qui peut dépendre de lui : $$\boxed{\begin{array}{l} f \text{ atteint toutes les valeurs de } \mathbb{N} \text{ : } \forall n \in \mathbb{N},\; \exists x \in \mathbb{R},\; f(x) = n \\[1mm] \text{Négation : } \exists n \in \mathbb{N},\; \forall x \in \mathbb{R},\; f(x) \neq n \end{array}}$$

5. La fonction $f$ est impaire lorsque $\forall x \in \mathbb{R},\; f(-x) = -f(x)$. Sa négation donne : $$\boxed{\begin{array}{l} f \text{ n'est pas impaire : } \exists x \in \mathbb{R},\; f(-x) \neq -f(x) \\[1mm] \text{Négation : } \forall x \in \mathbb{R},\; f(-x) = -f(x) \end{array}}$$

6. Dire que $f$ admet un minimum, c'est dire qu'il existe un réel $a$ en lequel $f$ prend une valeur inférieure à toutes les autres : $$\boxed{\begin{array}{l} f \text{ n'admet aucun minimum : } \forall a \in \mathbb{R},\; \exists x \in \mathbb{R},\; f(x) < f(a) \\[1mm] \text{Négation : } \exists a \in \mathbb{R},\; \forall x \in \mathbb{R},\; f(a) \leqslant f(x) \end{array}}$$

Piège : le minimum doit être atteint. Écrire $\exists m \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, m \leqslant f(x)$ traduirait « $f$ est minorée », ce qui est plus faible : la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{x}$ est minorée par $0$ sans admettre de minimum.