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ExerciceMaths approfondies, chapitre 1 — Ensembles et logique · Ensembles et quantificateurs

Exercice 16

Calcul

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, sous une forme où aucun « non » ne porte sur un quantificateur.

1. ∀x∈ℝ,  x2⩾x\forall x \in \mathbb{R},\; x^{2} \geqslant x

2. ∃n∈ℕ,  n2=2\exists n \in \mathbb{N},\; n^{2} = 2

3. ∀x∈ℝ,  ∃y∈ℝ,  y>x\forall x \in \mathbb{R},\; \exists y \in \mathbb{R},\; y > x

4. ∃M∈ℝ,  ∀n∈ℕ,  un⩽M\exists M \in \mathbb{R},\; \forall n \in \mathbb{N},\; u_{n} \leqslant M

5. ∀x∈E,  (P(x)⇒Q(x))\forall x \in E,\; \big(P(x) \Rightarrow Q(x)\big)

6. ∀ε>0,  ∃N∈ℕ,  ∀n⩾N,  ∣un−ℓ∣⩽ε\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall n \geqslant N,\; |u_{n} - \ell| \leqslant \varepsilon

Corrigé

On applique la propriété 2 du cours : nier échange ∀\forall et ∃\exists, et fait descendre la négation sur la proposition finale.

1.  ∃x∈ℝ,  x2<x2.  ∀n∈ℕ,  n2≠2\textbf{1.}\; \boxed{\exists x \in \mathbb{R},\; x^{2} < x} \qquad\qquad \textbf{2.}\; \boxed{\forall n \in \mathbb{N},\; n^{2} \neq 2}
3.  ∃x∈ℝ,  ∀y∈ℝ,  y⩽x4.  ∀M∈ℝ,  ∃n∈ℕ,  un>M\textbf{3.}\; \boxed{\exists x \in \mathbb{R},\; \forall y \in \mathbb{R},\; y \leqslant x} \qquad\qquad \textbf{4.}\; \boxed{\forall M \in \mathbb{R},\; \exists n \in \mathbb{N},\; u_{n} > M}
5.  ∃x∈E,  (P(x) et non Q(x))\textbf{5.}\; \boxed{\exists x \in E,\; \big(P(x) \text{ et } \text{non } Q(x)\big)}
6.  ∃ε>0,  ∀N∈ℕ,  ∃n⩾N,  ∣un−ℓ∣>ε\textbf{6.}\; \boxed{\exists \varepsilon > 0,\; \forall N \in \mathbb{N},\; \exists n \geqslant N,\; |u_{n} - \ell| > \varepsilon}

La question 5 utilise la négation d'une implication établie à l'exercice 4 : non(P⇒Q)\text{non}(P \Rightarrow Q) équivaut à PP et non Q\text{non } Q.

La question 6 est la négation de « la suite (un)(u_{n}) converge vers ℓ\ell ». On observera que les quantificateurs se renversent tous, dans l'ordre où ils apparaissent, et que seule l'inégalité finale est niée. C'est le mécanisme le plus important du chapitre.

Énoncé PDF, p. 4Corrigé PDF, p. 9Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Connecteurs et tables de véritéTautologies et complétude fonctionnelleLogique du premier ordre

Thèmes

propositions, négation, implication, quantificateurs

Notions

tautologie, quantificateur

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