Exercice 15

1. Pour tout réel $x$, $x^{2} \geqslant 0$ donc $x^{2} + 1 \geqslant 1 > 0$ : $\boxed{\textbf{Vraie}}$

2. D'après ce qui précède, $x^{2} + 1 \geqslant 1$ ne s'annule jamais : $\boxed{\textbf{Fausse}}$

3. L'entier $n = 0$ appartient à $\mathbb{N}$ et vérifie $n < 1$ : $\boxed{\textbf{Fausse}}$

4. Prenons $n = 0$ : tout entier naturel $m$ vérifie $0 \leqslant m$ : $\boxed{\textbf{Vraie}}$

5. Soit $x \in \mathbb{R}$. Posons $y = -x$ : alors $x + y = 0$ : $\boxed{\textbf{Vraie}}$

6. Supposons qu'un tel $y$ existe. Appliqué à $x = 0$, il donne $y = 0$ ; appliqué à $x = 1$, il donne $y = -1$. C'est contradictoire : $\boxed{\textbf{Fausse}}$

7. Soit $x$ un réel non nul. Posons $y = \dfrac{1}{x}$ : alors $xy = 1$ : $\boxed{\textbf{Vraie}}$

8. C'est l'irrationalité de $\sqrt{2}$, démontrée dans le cours : $\boxed{\textbf{Fausse}}$

Piège : les propositions 5 et 6 ne diffèrent que par l'ordre des quantificateurs, et n'ont pourtant pas la même valeur de vérité. Dans la cinquième, $y$ peut dépendre de $x$ ; dans la sixième, un même $y$ devrait convenir pour tous les $x$.