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ExerciceMaths approfondies, chapitre 1 — Ensembles et logique · Ensembles et quantificateurs

Exercice 14

Démonstration

On pose E={1  ;  2  ;  {3}  ;  {1  ; 2}}E = \big\{1 \;;\; 2 \;;\; \{3\} \;;\; \{1 \;;\, 2\}\big\}.

Pour chacun des objets ci-dessous, dire s'il appartient à EE, s'il est inclus dans EE, s'il vérifie les deux, ou aucune des deux. Justifier.

1. 11

2. {1}\{1\}

3. 33

4. {3}\{3\}

5. {1  ; 2}\{1 \;;\, 2\}

6. ∅\varnothing

7. {{3}}\big\{\{3\}\big\}

8. {2  ; {3}}\big\{2 \;;\, \{3\}\big\}

Corrigé

Le symbole ∈\in relie un élément à un ensemble, le symbole ⊂\subset relie deux ensembles. Les éléments de EE sont 11, 22, {3}\{3\} et {1  ;2}\{1 \;; 2\}.

1.  1∈E seulement2.  {1}⊂E seulement3.  3 : aucune des deux\textbf{1.}\; \boxed{1 \in E \text{ seulement}} \qquad \textbf{2.}\; \boxed{\{1\} \subset E \text{ seulement}} \qquad \textbf{3.}\; \boxed{3 \text{ : aucune des deux}}
4.  {3}∈E seulement5.  {1  ;2}∈E   et   {1  ;2}⊂E\textbf{4.}\; \boxed{\{3\} \in E \text{ seulement}} \qquad\qquad \textbf{5.}\; \boxed{\{1 \;; 2\} \in E \;\text{ et }\; \{1 \;; 2\} \subset E}
6.  ∅⊂E seulement7.  {{3}}⊂E seulement8.  {2  ;{3}}⊂E seulement\textbf{6.}\; \boxed{\varnothing \subset E \text{ seulement}} \qquad \textbf{7.}\; \boxed{\big\{\{3\}\big\} \subset E \text{ seulement}} \qquad \textbf{8.}\; \boxed{\big\{2 \;; \{3\}\big\} \subset E \text{ seulement}}

Justifions les cas délicats.

• 3. L'entier 33 n'est pas un élément de EE : seul l'ensemble {3}\{3\} l'est. Et 33 n'étant pas un ensemble, l'écriture 3⊂E3 \subset E n'a pas de sens.

• 4. On a {3}∈E\{3\} \in E puisque {3}\{3\} figure dans la liste. En revanche {3}⊂E\{3\} \subset E signifierait 3∈E3 \in E, ce qui est faux.

• 5. L'ensemble {1  ;2}\{1 \;; 2\} figure dans la liste, donc {1  ;2}∈E\{1 \;; 2\} \in E ; et comme 1∈E1 \in E et 2∈E2 \in E, on a aussi {1  ;2}⊂E\{1 \;; 2\} \subset E. Les deux relations sont vraies simultanément, ce qui montre qu'elles sont indépendantes l'une de l'autre.

• 6. L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, mais il ne figure pas dans la liste des éléments de EE.

• 7. On a {{3}}⊂E\big\{\{3\}\big\} \subset E car son unique élément, {3}\{3\}, appartient à EE.

Énoncé PDF, p. 4Corrigé PDF, p. 8Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Axiome d'extensionnalité

Thèmes

inclusion et égalité

Notions

ensemble

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