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ExerciceMaths approfondies, chapitre 1 — Ensembles et logique · Ensembles et quantificateurs

Exercice 13

Calcul

1. Décrire en extension les ensembles suivants :

(a) {x∈ℤ∣x2⩽9}\{x \in \mathbb{Z} \mid x^{2} \leqslant 9\}

(b) {n∈ℕ∣n divise 12}\{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ divise } 12\}

(c) {x∈ℝ∣x2=2}\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2} = 2\}

(d) {x∈ℚ∣x2=2}\{x \in \mathbb{Q} \mid x^{2} = 2\}

2. Décrire en compréhension les ensembles suivants :

(a) {1  ;  4  ;  9  ;  16  ;  25}\{1 \;;\; 4 \;;\; 9 \;;\; 16 \;;\; 25\}

(b) l'ensemble des entiers relatifs pairs

(c) l'ensemble des réels dont la distance à 33 est inférieure ou égale à 11

Corrigé

1. On énumère les éléments : (𝐚)  {−3  ;  −2  ;  −1  ;  0  ;  1  ;  2  ;  3}(𝐛)  {1  ;  2  ;  3  ;  4  ;  6  ;  12}\textbf{(a)}\; \boxed{\{-3 \;;\; -2 \;;\; -1 \;;\; 0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3\}} \qquad\qquad \textbf{(b)}\; \boxed{\{1 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 4 \;;\; 6 \;;\; 12\}}

(𝐜)  {−2  ;  2}(𝐝)  ∅\textbf{(c)}\; \boxed{\big\{-\sqrt{2} \;;\; \sqrt{2}\big\}} \qquad\qquad \textbf{(d)}\; \boxed{\varnothing} Le cas (d) n'est autre que l'irrationalité de 2\sqrt{2} : aucun rationnel n'a pour carré 22.

2. On donne une propriété caractéristique : (𝐚)  {n2  ∣  n∈ℕ et 1⩽n⩽5}(𝐛)  {n∈ℤ∣∃k∈ℤ,  n=2k}\textbf{(a)}\; \boxed{\big\{n^{2} \;\big|\; n \in \mathbb{N} \text{ et } 1 \leqslant n \leqslant 5\big\}} \qquad\qquad \textbf{(b)}\; \boxed{\{n \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z},\; n = 2k\}}

(𝐜)  {x∈ℝ  ∣  ∣x−3∣⩽1}=[2  ;4]\textbf{(c)}\; \boxed{\big\{x \in \mathbb{R} \;\big|\; |x - 3| \leqslant 1\big\} = [2\;;4]}
Énoncé PDF, p. 3Corrigé PDF, p. 8Toute la feuilleLe cours

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