Exercice 12

1. Soient $r$ et $r'$ deux rationnels : il existe $p, p' \in \mathbb{Z}$ et $q, q' \in \mathbb{N}^{*}$ tels que $r = \dfrac{p}{q}$ et $r' = \dfrac{p'}{q'}$. Alors : $$r + r' = \frac{pq' + p'q}{qq'} \qquad\text{et}\qquad rr' = \frac{pp'}{qq'}$$ Les numérateurs sont entiers et les dénominateurs sont des entiers naturels non nuls. $$\boxed{\text{La somme et le produit de deux rationnels sont rationnels.}}$$

2. Supposons par l'absurde que $r + x$ soit rationnel, et notons $s = r + x \in \mathbb{Q}$. Alors : $$x = s - r$$ est la somme des deux rationnels $s$ et $-r$, donc un rationnel d'après la question 1 : cela contredit l'irrationalité de $x$. $$\boxed{r + x \text{ est irrationnel.}}$$

3. On procède de la même manière. Supposons $rx = s$ avec $s \in \mathbb{Q}$. Comme $r \neq 0$, on peut écrire : $$x = \frac{s}{r}$$ qui est le produit des rationnels $s$ et $\dfrac{1}{r}$, donc un rationnel : contradiction. $$\boxed{rx \text{ est irrationnel.}}$$

4. Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel, et $-\sqrt{2}$ l'est aussi d'après la question 3 appliquée à $r = -1$. Or : $$\sqrt{2} + \big(-\sqrt{2}\big) = 0 \in \mathbb{Q} \qquad\text{et}\qquad \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \in \mathbb{Q}$$

5. Si $r = 0$, alors $rx = 0$, qui est rationnel quel que soit $x$. $$\boxed{\text{L'énoncé serait faux sans l'hypothèse } r \neq 0.}$$ On retiendra la structure commune aux questions 2 et 3 : l'ensemble $\mathbb{Q}$ est stable par somme et par produit, ce qui permet de « revenir en arrière » et d'obtenir la contradiction.