Exercice 11

1. Supposons par l'absurde que $x \neq 0$. Comme $x \geqslant 0$, on a donc $x > 0$. Posons $\varepsilon = \dfrac{x}{2}$, qui est un réel strictement positif. L'hypothèse appliquée à ce $\varepsilon$ donne : $$x \leqslant \frac{x}{2} \quad\text{donc}\quad \frac{x}{2} \leqslant 0 \quad\text{donc}\quad x \leqslant 0$$ ce qui contredit $x > 0$. L'hypothèse $x \neq 0$ est donc fausse. $$\boxed{x = 0}$$ On remarque que le réel $\varepsilon = \frac{x}{2}$ est exactement celui qu'utilise le cours dans la démonstration par contraposée : les deux rédactions manipulent les mêmes objets, seule leur mise en scène diffère.

2. Prenons $x = -1$. Pour tout réel $\varepsilon > 0$, on a $-1 < 0 < \varepsilon$, donc $x \leqslant \varepsilon$ ; pourtant $x \neq 0$. $$\boxed{x = -1 \text{ convient : l'hypothèse } x \geqslant 0 \text{ est indispensable.}}$$

3. Prenons $x = 1$ et $\varepsilon = 2$ : il existe bien un réel $\varepsilon > 0$ tel que $x \leqslant \varepsilon$, et $x \neq 0$. $$\boxed{\text{Non, le résultat tombe en défaut.}}$$ C'est le « pour tout » qui porte toute la force de l'hypothèse : il oblige $x$ à être plus petit que des réels arbitrairement proches de $0$.