Exercice 10

1. Les carrés d'entiers naturels inférieurs à $3$ sont $0$ et $1$, et les sommes possibles sont $0$, $1$ et $2$. Prenons $n = 3$ : $$\boxed{n = 3 \text{ n'est pas somme de deux carrés d'entiers naturels.}}$$

2. Prenons $x = y = 1$ : $$\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \qquad\text{et}\qquad 1 + 1 = 2$$

3. Prenons $x = 1$ : on a $x^{2} = 1$, qui n'est pas strictement supérieur à $1$. $$\boxed{x = 1 \text{ convient (ou tout } x \text{ de } [0\;;1]).}$$

4. Prenons $n = 4$ : il est divisible par $2$ et par $4$, mais $4 = 8 \times 0{,}5$ n'est pas un multiple de $8$. $$\boxed{n = 4 \text{ convient.}}$$

5. Prenons $a = 1$ et $b = -1$ : $$|a + b| = |0| = 0 \qquad\text{et}\qquad |a| + |b| = 1 + 1 = 2$$

6. Le plus petit nombre premier est pair : $$\boxed{2 \text{ est premier et pair.}}$$

7. Prenons $n = 41$ : $$41^{2} + 41 + 41 = 41 \times (41 + 1 + 1) = 41 \times 43 = 1\,763$$

$$\boxed{n = 41 \text{ convient : } 1\,763 \text{ n'est pas premier.}}$$ Cet exemple mérite d'être médité : $n^{2} + n + 41$ est premier pour toutes les valeurs de $n$ de $0$ à $40$. Quarante-et-un exemples successifs ne démontrent rien, alors qu'un seul contre-exemple suffit à conclure — c'est exactement l'asymétrie signalée par le cours.