Exercice 9

1. Supposons par l'absurde que $\sqrt{3}$ soit rationnel. On peut alors écrire : $$\sqrt{3} = \frac{p}{q} \quad\text{avec}\quad p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{N}^{*} \text{ sans facteur commun}$$ En élevant au carré, il vient $3q^{2} = p^{2}$. Ainsi $3$ divise $p^{2}$, donc $3$ divise $p$ d'après le résultat admis, et $p = 3p'$ avec $p' \in \mathbb{Z}$. En reportant : $$3q^{2} = 9p'^{2} \quad\text{d'où}\quad q^{2} = 3p'^{2}$$ Donc $3$ divise $q^{2}$, puis $3$ divise $q$. Mais alors $p$ et $q$ admettent $3$ comme facteur commun, ce qui contredit le choix de $p$ et $q$. $$\boxed{\sqrt{3} \text{ est irrationnel.}}$$

2. On remarque que $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$. Supposons par l'absurde $\sqrt{8}$ rationnel. Alors : $$\sqrt{2} = \frac{\sqrt{8}}{2}$$ serait le quotient de deux rationnels, donc un rationnel, ce qui contredit l'irrationalité de $\sqrt{2}$. $$\boxed{\sqrt{8} \text{ est irrationnel.}}$$

3. La démonstration de la question 1 reposerait sur l'implication si $4$ divise $p^{2}$, alors $4$ divise $p$. $$\boxed{\text{Cette implication est fausse : } p = 2 \text{ vérifie } 4 \mid p^{2} = 4 \text{ sans que } 4 \mid 2.}$$ Le raisonnement s'arrête donc dès la troisième ligne — et heureusement, puisque $\sqrt{4} = 2$ est rationnel.