Exercice 8

1. La contraposée s'énonce : si $n$ est impair, alors $n^{2}$ est impair. Démontrons-la. Supposons $n$ impair : il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 2k+1$. Alors : $$n^{2} = (2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2\big(2k^{2} + 2k\big) + 1$$ Comme $2k^{2} + 2k \in \mathbb{Z}$, l'entier $n^{2}$ est impair. La contraposée étant établie : $$\boxed{\text{Si } n^{2} \text{ est pair, alors } n \text{ est pair.}}$$

2. La contraposée s'énonce : si $a < 1$ et $b < 1$, alors $a + b < 2$, la négation de « $a \geqslant 1$ ou $b \geqslant 1$ » étant un « et » d'après De Morgan. En additionnant membre à membre les inégalités strictes $a < 1$ et $b < 1$, on obtient $a + b < 2$. $$\boxed{\text{Si } a + b \geqslant 2, \text{ alors } a \geqslant 1 \text{ ou } b \geqslant 1.}$$

3. La contraposée s'énonce : si $n$ est impair, alors $n^{2} - 1$ est divisible par $8$. Supposons $n = 2k+1$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Alors : $$n^{2} - 1 = (n-1)(n+1) = 2k \times (2k+2) = 4k(k+1)$$ Or, parmi les deux entiers consécutifs $k$ et $k+1$, l'un est pair : le produit $k(k+1)$ s'écrit donc $2m$ avec $m \in \mathbb{Z}$, d'où $n^{2} - 1 = 8m$. $$\boxed{\text{Si } n^{2} - 1 \text{ n'est pas divisible par } 8, \text{ alors } n \text{ est pair.}}$$