Exercice 7

1. Montrons que $x^{2} + y^{2} = 0 \Rightarrow (x = 0$ et $y = 0)$. Supposons $x^{2} + y^{2} = 0$. Alors $x^{2} = -y^{2}$. Or $x^{2} \geqslant 0$ et $-y^{2} \leqslant 0$, donc $x^{2} = 0$, c'est-à-dire $x = 0$. On en déduit $y^{2} = 0$, donc $y = 0$.

Réciproquement, montrons que $(x = 0$ et $y = 0) \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 0$. Si $x = 0$ et $y = 0$, alors $x^{2} + y^{2} = 0 + 0 = 0$. $$\boxed{x^{2} + y^{2} = 0 \;\Longleftrightarrow\; (x = 0 \text{ et } y = 0)}$$

2. Montrons le sens direct. Supposons $(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2}$. En développant le membre de gauche : $$a^{2} + 2ab + b^{2} = a^{2} + b^{2} \quad\text{donc}\quad 2ab = 0 \quad\text{donc}\quad ab = 0$$

Réciproquement, si $ab = 0$, alors $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = a^{2} + b^{2}$. $$\boxed{(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} \;\Longleftrightarrow\; ab = 0}$$

3. Montrons que $|x| \leqslant 3 \Rightarrow -3 \leqslant x \leqslant 3$. Supposons $|x| \leqslant 3$. Si $x \geqslant 0$, alors $x = |x| \leqslant 3$ et $x \geqslant 0 > -3$. Si $x < 0$, alors $-x = |x| \leqslant 3$, donc $x \geqslant -3$, et $x < 0 \leqslant 3$. Dans les deux cas, $-3 \leqslant x \leqslant 3$.

Réciproquement, supposons $-3 \leqslant x \leqslant 3$. Si $x \geqslant 0$, alors $|x| = x \leqslant 3$. Sinon $|x| = -x \leqslant 3$ puisque $x \geqslant -3$. $$\boxed{|x| \leqslant 3 \;\Longleftrightarrow\; -3 \leqslant x \leqslant 3}$$