Exercice 6

La réciproque de $A \Rightarrow B$ est $B \Rightarrow A$ ; sa contraposée est $(\text{non } B) \Rightarrow (\text{non } A)$.

1. On échange et on nie les deux membres : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Réciproque : si } n \text{ est pair, alors } n \text{ est un multiple de } 4. \\[1mm] \text{Contraposée : si } n \text{ est impair, alors } n \text{ n'est pas un multiple de } 4. \end{array}}$$ L'implication est Vraie ; la réciproque est Fausse, comme le montre $n = 6$.

2. On procède de la même manière : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Réciproque : si } x^{2} \geqslant 4, \text{ alors } x \geqslant 2. \\[1mm] \text{Contraposée : si } x^{2} < 4, \text{ alors } x < 2. \end{array}}$$ L'implication est Vraie ; la réciproque est Fausse, comme le montre $x = -3$.

3. On procède de la même manière : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Réciproque : si } n \text{ est impair, alors } n \text{ est premier et } n > 2. \\[1mm] \text{Contraposée : si } n \text{ est pair, alors } n \text{ n'est pas premier ou } n \leqslant 2. \end{array}}$$ L'implication est Vraie ; la réciproque est Fausse, comme le montre $n = 9$.

Piège : la contraposée nie les deux membres et les échange. Nier « $n$ premier et $n > 2$ » donne bien un « ou », d'après les lois de De Morgan.

4. On procède de la même manière : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Réciproque : si } x + y \text{ est rationnel, alors } x \text{ et } y \text{ sont rationnels.} \\[1mm] \text{Contraposée : si } x + y \text{ est irrationnel, alors } x \text{ ou } y \text{ est irrationnel.} \end{array}}$$ L'implication est Vraie (question 1 de l'exercice 12) ; la réciproque est Fausse : $x = \sqrt{2}$ et $y = -\sqrt{2}$ sont irrationnels et $x + y = 0$ est rationnel.