Exercice 5

Lorsque $A \Rightarrow B$ est vraie, $A$ est une condition suffisante pour $B$, et $B$ une condition nécessaire pour $A$.

1. L'implication est vraie, donc : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Être multiple de } 6 \text{ est suffisant pour être multiple de } 3. \\[1mm] \text{Être multiple de } 3 \text{ est nécessaire pour être multiple de } 6. \end{array}}$$ Réciproque Fausse : $3$ est multiple de $3$ mais pas de $6$.

2. On applique les deux définitions : $$\boxed{\begin{array}{l} x = 2 \text{ est suffisant pour } x^{2} = 4. \\[1mm] x^{2} = 4 \text{ est nécessaire pour } x = 2. \end{array}}$$ Réciproque Fausse : $x = -2$ vérifie $x^{2} = 4$ sans valoir $2$.

3. On applique les deux définitions : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Être un carré est suffisant pour être un losange.} \\[1mm] \text{Être un losange est nécessaire pour être un carré.} \end{array}}$$ Réciproque Fausse : un losange dont les diagonales sont de longueurs différentes n'est pas un carré.

4. On applique les deux définitions : $$\boxed{\begin{array}{l} x > 0 \text{ est suffisant pour } x \geqslant 0. \\[1mm] x \geqslant 0 \text{ est nécessaire pour } x > 0. \end{array}}$$ Réciproque Fausse : $x = 0$ vérifie $x \geqslant 0$ mais pas $x > 0$.

5. On applique les deux définitions : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Être pair est suffisant pour avoir un carré pair.} \\[1mm] \text{Avoir un carré pair est nécessaire pour être pair.} \end{array}}$$ Réciproque Vraie : c'est le résultat démontré à la question 1 de l'exercice 8.