Exercice 4

1. On dresse la table de vérité :

Les deux dernières colonnes coïncident, donc : $$\boxed{(A \Rightarrow B) \;\Leftrightarrow\; \big((\text{non } A) \text{ ou } B\big)}$$

2. On nie les deux membres de l'équivalence précédente, puis on applique De Morgan : $$\text{non}(A \Rightarrow B) \;\Leftrightarrow\; \text{non}\big((\text{non } A) \text{ ou } B\big) \;\Leftrightarrow\; \big(\text{non}(\text{non } A)\big) \text{ et } (\text{non } B)$$ Comme $\text{non}(\text{non } A)$ équivaut à $A$ : $$\boxed{\text{non}(A \Rightarrow B) \;\Leftrightarrow\; \big(A \text{ et } (\text{non } B)\big)}$$

3. La vérification est immédiate sur la table :

4. On applique la question 2 avec $A$ : « $x > 2$ » et $B$ : « $x^{2} > 4$ » : $$\boxed{x > 2 \;\text{ et }\; x^{2} \leqslant 4}$$

Piège : la négation d'une implication n'est pas une implication. Écrire « si $x > 2$ alors $x^{2} \leqslant 4$ » serait une faute de logique.

5. Soit $x$ un réel tel que $x > 2$. La fonction carré étant strictement croissante sur $[0\;;+\infty[$, on obtient $x^{2} > 2^{2} = 4$, ce qui contredit $x^{2} \leqslant 4$. $$\boxed{\text{La négation est fausse pour tout réel } x, \text{ donc l'implication de départ est vraie pour tout réel } x.}$$ C'est la méthode générale : montrer qu'une implication est vraie, c'est montrer que « $A$ et non $B$ » est impossible.