ExerciceMaths approfondies, chapitre 1 — Ensembles et logique · Propositions et connecteurs

Exercice 3

Calcul

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, en évitant toute formulation du type « il est faux que ».

1. $x \geqslant 0$ et $y < 1$ .

2. L'entier $n$ est pair ou premier.

3. Le réel $a$ est rationnel et strictement positif.

4. $x \in [0\;;1]$ .

5. Le nombre $n$ est divisible par $2$ et par $3$ .

6. La suite $(u_{n})$ est croissante ou majorée.

Corrigé

On applique les lois de De Morgan : la négation échange le « et » et le « ou », et nie chacun des deux membres.

\textbf{1.}\quad \boxed{x < 0 \;\text{ ou }\; y \geqslant 1} \qquad\qquad \textbf{2.}\quad \boxed{n \text{ est impair et } n \text{ n'est pas premier}}

\textbf{3.}\quad \boxed{a \text{ est irrationnel ou } a \leqslant 0} \qquad\qquad \textbf{4.}\quad \boxed{x < 0 \;\text{ ou }\; x > 1}

\textbf{5.}\quad \boxed{n \text{ n'est pas divisible par } 2 \text{ ou } n \text{ n'est pas divisible par } 3}

\textbf{6.}\quad \boxed{(u_{n}) \text{ n'est pas croissante et n'est pas majorée}}

Piège : la négation de «  $x \geqslant 0$  » est «  $x < 0$  », et non «  $x \leqslant 0$  ». De même, la négation de «  $x \in [0\;;1]$  » n'est pas «  $x \in \;]0\;;1[$  ».

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