Exercice 30

1. On a $A \setminus B = \{1 \;;\; 2\}$ et $B \setminus A = \{5 \;;\; 6\}$, d'où : $$\boxed{A \,\Delta\, B = \{1 \;;\; 2 \;;\; 5 \;;\; 6\}}$$

2. C'est la zone formée des deux « croissants », c'est-à-dire la réunion privée de l'intersection : $$\boxed{\text{Le diagramme } \textbf{(d)}.}$$

3. Notons $P$ la proposition « $x \in A$ » et $Q$ la proposition « $x \in B$ ». Par définition de la réunion et de la différence : $$x \in A \,\Delta\, B \iff \big(P \text{ et } \text{non } Q\big) \;\text{ ou }\; \big(Q \text{ et } \text{non } P\big)$$ Comparons cette proposition à $\big(P \text{ ou } Q\big) \text{ et } \text{non}\big(P \text{ et } Q\big)$ par une table de vérité :

Les deux colonnes encadrées coïncident, ce qui établit l'équivalence demandée : $$\boxed{x \in A \,\Delta\, B \iff \Big(\big(x \in A \text{ ou } x \in B\big) \text{ et } \text{non}\big(x \in A \text{ et } x \in B\big)\Big)}$$

4. On traduit chacun des deux membres du « et » : $$\big(x \in A \text{ ou } x \in B\big) \iff x \in A \cup B \qquad\text{et}\qquad \text{non}\big(x \in A \text{ et } x \in B\big) \iff x \notin A \cap B$$ La question 3 se relit donc : $x \in A \,\Delta\, B$ si et seulement si $x \in A \cup B$ et $x \notin A \cap B$, ce qui est la définition de la différence. $$\boxed{A \,\Delta\, B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)}$$

5. On applique la question 4 : $$A \,\Delta\, A = (A \cup A) \setminus (A \cap A) = A \setminus A = \varnothing$$

6. Sens direct. Supposons $A \,\Delta\, B = \varnothing$. D'après la question 4, cela signifie $A \cup B \subset A \cap B$. Or les inclusions $A \cap B \subset A \subset A \cup B$ sont toujours vraies, donc : $$A \cup B \subset A \cap B \subset A \subset A \cup B$$ Toutes ces inclusions sont donc des égalités, et $A = A \cup B$. Le même raisonnement avec $B$ donne $B = A \cup B$, d'où $A = B$.

Réciproquement, si $A = B$, alors $A \,\Delta\, B = A \,\Delta\, A = \varnothing$ d'après la question 5. $$\boxed{A \,\Delta\, B = \varnothing \;\Longleftrightarrow\; A = B}$$

7. La question 3 montre que $x$ appartient à $A \,\Delta\, B$ lorsque $x$ appartient à $A$ ou à $B$, mais pas aux deux. C'est exactement le sens du « ou » du langage courant dans « fromage ou dessert » : l'un des deux, à l'exclusion de l'autre. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{La réunion } A \cup B \text{ correspond au « ou » inclusif des mathématiques,} \\[1mm] \text{la différence symétrique } A \,\Delta\, B \text{ au « ou » exclusif du langage courant.} \end{array}}$$ C'est pourquoi le cours prend soin de préciser que le « ou » mathématique est inclusif : le « ou » exclusif existe bien, mais il porte un autre nom et se note autrement.