ExerciceMaths approfondies, chapitre 1 — Ensembles et logique · Exercices de synthèse

Exercice 29 Vrai ou faux

Vrai ou fauxDémonstration

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans tout l'exercice, $A$ et $B$ désignent des propositions, et $E$ , $F$ , $G$ des ensembles.

1. Si $A$ est fausse, alors $A \Rightarrow B$ est vraie.

2. La négation de «  $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$  » est «  $x < 0$ et $y < 0$  ».

3. Une implication et sa contraposée ont la même valeur de vérité.

4. Une implication et sa réciproque ont la même valeur de vérité.

5. Un exemple suffit à démontrer qu'une proposition commençant par « pour tout » est vraie.

6. Pour tout ensemble $E$ , on a $\varnothing \subset E$ et $\varnothing \in \mathcal{P}(E)$ .

7. Si $E$ possède $n$ éléments, alors $\mathcal{P}(E)$ en possède $2n$ .

8. Dans une proposition, deux quantificateurs de même nature peuvent être permutés sans changer sa valeur de vérité.

9. Le « ou » des mathématiques est inclusif.

10. Pour toutes parties $F$ et $G$ de $E$ , on a $\overline{F \cup G} = \overline{F} \cap \overline{G}$ .

Corrigé

1. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Les deux dernières lignes de la table de vérité de l'implication donnent V lorsque $A$ est fausse, quelle que soit $B$ . Une hypothèse fausse permet de conclure n'importe quoi.

2. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Les lois de De Morgan échangent le « et » et le « ou » : la négation est «  $x < 0$ ou $y < 0$  ». Le couple $x = -1$ , $y = 1$ met l'affirmation en défaut.

3. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le résultat du cours : démontrer une implication ou sa contraposée, c'est démontrer la même chose.

4. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'implication « si $n$ est multiple de $4$ , alors $n$ est pair » est vraie, sa réciproque est fausse (exercice 6).

5. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Un exemple ne démontre rien pour une proposition universelle. L'exercice 10 en donne l'illustration la plus frappante : $n^{2} + n + 41$ est premier pour $n$ allant de $0$ à $40$ , et cesse de l'être en $41$ .

6. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, donc c'est une partie de $E$ , donc un élément de $\mathcal{P}(E)$ .

7. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Il en possède $2^{n}$ , et non $2n$ . Pour $n = 4$ , l'exercice 27 en dénombre $16$ et non $8$ .

8. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la remarque finale du cours : deux $\forall$ consécutifs, ou deux $\exists$ consécutifs, peuvent être permutés. Seuls des quantificateurs de natures différentes ne le peuvent pas.

9. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ «  $A$ ou $B$  » est vraie dès que l'une des deux l'est, y compris lorsque les deux le sont.

10. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la loi de De Morgan ensembliste, démontrée dans le cours et vérifiée sur un exemple à l'exercice 21.

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 16 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Connecteurs et tables de vérité Tautologies et complétude fonctionnelle Logique du premier ordre Axiome d'extensionnalité Réunion, intersection, différence

Thèmes

propositions, négation, implication, quantificateurs, inclusion et égalité, opérations ensemblistes

Notions

tautologie, quantificateur, ensemble