Exercice 28

1. On énumère tous les couples : $$\boxed{\begin{array}{l} E \times F = \big\{(1\,;a) \;;\; (1\,;b) \;;\; (2\,;a) \;;\; (2\,;b) \;;\; (3\,;a) \;;\; (3\,;b)\big\} \\[1mm] F \times E = \big\{(a\,;1) \;;\; (a\,;2) \;;\; (a\,;3) \;;\; (b\,;1) \;;\; (b\,;2) \;;\; (b\,;3)\big\} \end{array}}$$ Chacun compte $3 \times 2 = 6$ éléments. En revanche ils ne sont pas égaux : $(1\,;a) \in E \times F$ mais $(1\,;a) \notin F \times E$, car la première coordonnée d'un élément de $F \times E$ appartient à $F$. $$\boxed{\text{Même nombre d'éléments, mais } E \times F \neq F \times E.}$$

2. Un élément de $E \times F$ a sa première coordonnée dans $E$, un élément de $F \times E$ l'a dans $F$. Comme $E \cap F = \varnothing$, aucun couple ne peut appartenir aux deux : $$\boxed{(E \times F) \cap (F \times E) = \varnothing}$$

3. Un couple $(x\,;y)$ appartient à $[0\;;2] \times [1\;;3]$ lorsque $0 \leqslant x \leqslant 2$ et $1 \leqslant y \leqslant 3$. $$\boxed{\text{C'est le rectangle plein de sommets } (0\,;1),\, (2\,;1),\, (2\,;3) \text{ et } (0\,;3), \text{ côtés compris.}}$$

4. Sens direct, par contraposée. Supposons $A \neq \varnothing$ et $B \neq \varnothing$. On peut alors choisir $a \in A$ et $b \in B$, et le couple $(a\,;b)$ appartient à $A \times B$, qui n'est donc pas vide.

Réciproque. Si $A = \varnothing$, il n'existe aucun $x \in A$, donc aucun couple $(x\,;y)$ avec $x \in A$ : le produit est vide. Il en va de même si $B = \varnothing$. $$\boxed{A \times B = \varnothing \;\Longleftrightarrow\; \big(A = \varnothing \text{ ou } B = \varnothing\big)}$$

5. Soit $(x\,;y) \in A \times B$. Alors $x \in A \subset E$, donc $x \in E$ ; et $y \in B \subset F$, donc $y \in F$. Ainsi $(x\,;y) \in E \times F$. $$\boxed{A \times B \subset E \times F}$$