Exercice 1

1. L'addition fait de $\mathbb{R}^{2}$ un groupe abélien, et les quatre axiomes de la loi externe se vérifient coordonnée par coordonnée à partir de ceux de $\mathbb{R}$. $$\boxed{\mathbb{R}^{2} \text{ est un } \mathbb{R}\text{-espace vectoriel.}}$$

2. Les opérations étant définies point par point, chaque axiome se ramène à une égalité de réels, vraie en chaque point. $$\boxed{\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R}) \text{ est un } \mathbb{R}\text{-espace vectoriel.}}$$

3. Une suite réelle n'est rien d'autre qu'une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ : c'est le cas particulier $I=\mathbb{N}$ de l'exemple précédent. $$\boxed{\mathcal{S}(\mathbb{R}) \text{ est un } \mathbb{R}\text{-espace vectoriel.}}$$

4. La loi externe devrait être une application de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+}$ dans $\mathbb{R}_{+}$. Or $(-1) \cdot 1 = -1 \notin \mathbb{R}_{+}$ : elle n'est même pas définie. De plus $(\mathbb{R}_{+}\,;+)$ n'est pas un groupe, puisque $1$ n'y admet pas d'opposé. $$\boxed{\text{Non : la loi externe n'est pas à valeurs dans } \mathbb{R}_{+}, \text{ et l'axiome \textbf{A} échoue.}}$$

5. La loi externe devrait être une application de $\mathbb{R} \times \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{Q}$. Or $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. $$\boxed{\text{Non : la loi externe n'est pas définie.}}$$

6. L'ensemble $(\mathbb{R}\,;+)$ est un groupe abélien, la multiplication définit bien une application de $\mathbb{Q} \times \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et les quatre axiomes découlent des règles de calcul dans le corps $\mathbb{R}$. $$\boxed{\mathbb{R} \text{ est un } \mathbb{Q}\text{-espace vectoriel.}}$$ Piège : les questions 5 et 6 portent sur le même ensemble et la même multiplication. C'est le corps des scalaires qui change tout, et cette structure est étudiée à l'exercice 21.