Exercice 2

1. On part de $0_{K}=0_{K}+0_{K}$ et l'on applique la distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $$0_{K} \cdot x = \big(0_{K}+0_{K}\big) \cdot x = 0_{K} \cdot x+0_{K} \cdot x$$ Comme $(E\,;+)$ est un groupe, on simplifie par $0_{K} \cdot x$ : $$\boxed{0_{K} \cdot x = 0_{E}}$$

2. On procède de la même manière, avec cette fois la distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : $$\lambda \cdot 0_{E} = \lambda \cdot \big(0_{E}+0_{E}\big) = \lambda \cdot 0_{E}+\lambda \cdot 0_{E} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\lambda \cdot 0_{E} = 0_{E}}$$

3. On calcule, en utilisant l'axiome N puis la question 1 : $$x+(-1_{K}) \cdot x = 1_{K} \cdot x+(-1_{K}) \cdot x = \big(1_{K}+(-1_{K})\big) \cdot x = 0_{K} \cdot x = 0_{E}$$ Donc $(-1_{K}) \cdot x$ est l'opposé de $x$ dans le groupe $(E\,;+)$ : $$\boxed{(-1_{K}) \cdot x = -x}$$

4. Supposons $\lambda \cdot x = 0_{E}$ et $\lambda \neq 0_{K}$. Comme $K$ est un corps, $\lambda$ est inversible, et : $$x = 1_{K} \cdot x = \big(\lambda^{-1}\lambda\big) \cdot x = \lambda^{-1} \cdot \big(\lambda \cdot x\big) = \lambda^{-1} \cdot 0_{E} = 0_{E}$$ en utilisant successivement les axiomes N et A, puis la question 2. $$\boxed{\lambda \cdot x = 0_{E} \;\Longrightarrow\; \lambda = 0_{K} \text{ ou } x = 0_{E}}$$