Exercice 3

1. L'addition étant l'addition usuelle, $(\mathbb{R}^{2}\,;+)$ est bien un groupe abélien. On vérifie ensuite :

• $1 \star (x\,;y)=(x\,;y)$ : l'axiome N est vérifié ;

• $(\lambda\mu) \star (x\,;y)=(\lambda\mu x \,;\, y)=\lambda \star \big(\mu \star (x\,;y)\big)$ : l'axiome A est vérifié ;

• $\lambda \star \big((x\,;y)+(x'\,;y')\big)=\big(\lambda(x+x') \,;\, y+y'\big)=\lambda \star (x\,;y)+\lambda \star (x'\,;y')$ : la distributivité sur l'addition des vecteurs est vérifiée.

En revanche, avec $\lambda=\mu=1$ et $(x\,;y)=(0\,;1)$ : $$(1+1) \star (0\,;1)=(0\,;1) \qquad\text{tandis que}\qquad 1 \star (0\,;1)+1 \star (0\,;1)=(0\,;2)$$

2. La loi $\boxplus$ est bien interne, commutative et associative, mais elle n'admet aucun neutre : pour tout couple $(e\,;f)$, on a $(x\,;y) \boxplus (e\,;f)=(x+e \,;\, 0)$, qui ne vaut $(x\,;y)$ que si $y=0$. $$\boxed{\text{Non : } (\mathbb{R}^{2} \,;\boxplus) \text{ n'est pas un groupe, l'axiome \textbf{A} échoue.}}$$

3. Les axiomes N et A sont vérifiés, puisque $1^{2}=1$ et $(\lambda\mu)^{2}=\lambda^{2}\mu^{2}$, ainsi que la distributivité sur l'addition des vecteurs. Mais avec $\lambda=\mu=1$ et $u=(1\,;0)$ : $$(1+1) \star u=(4\,;0) \qquad\text{tandis que}\qquad 1 \star u+1 \star u=(2\,;0)$$ En effet $(\lambda+\mu)^{2}-\big(\lambda^{2}+\mu^{2}\big)=2\lambda\mu$, qui n'est pas nul en général. $$\boxed{\text{Non : le même axiome qu'à la question 1 échoue.}}$$ Remarque : les questions 1 et 3 échouent toutes deux sur la distributivité par rapport à l'addition des scalaires. C'est l'axiome que l'on oublie le plus volontiers de vérifier, parce qu'il fait intervenir les deux additions à la fois — celle de $K$ à gauche, celle de $E$ à droite.