Exercice 4

Le réflexe est celui du cours : un sous-espace vectoriel contient toujours $0_{E}$.

(a) La droite passe par l'origine, et elle est stable par addition et par multiplication externe : additionner deux vecteurs portés par une même droite, ou en étirer un, ne fait pas sortir de la droite. $$\boxed{\text{C'est un sous-espace vectoriel.}}$$

(b) La réunion contient l'origine, mais elle n'est pas stable : en additionnant un vecteur non nul de chaque droite, on obtient un vecteur qui n'appartient à aucune des deux. $$\boxed{\text{Ce n'est pas un sous-espace vectoriel.}}$$ C'est exactement la figure du cours illustrant que la réunion de deux sous-espaces n'en est presque jamais un.

(c) La droite ne passe pas par l'origine. $$\boxed{\text{Ce n'est pas un sous-espace vectoriel : } 0_{E} \notin F.}$$

(d) Le demi-plan contient l'origine et est stable par addition, mais pas par multiplication externe : le vecteur $(0\,;1)$ y appartient, alors que $(-1) \cdot (0\,;1)=(0\,;-1)$ n'y appartient pas. $$\boxed{\text{Ce n'est pas un sous-espace vectoriel.}}$$ Piège : contenir $0_{E}$ et être stable par addition ne suffit pas. Le dernier exemple montre qu'il faut aussi tester la multiplication par un scalaire négatif.