Feuille d'exercicesMaths approfondies, chapitre 6

Espaces vectoriels

21 exercices corrigés · 7 10 3

Espaces vectoriels : généralités

Exercice 1 Les ensembles suivants, munis des lois indiquées, sont-ils des espaces vectoriels ? Le cas échéant, préciser sur quel corps; sinon, indiquer quel…
Exercice 2 Soit E un K -espace vectoriel, λ ∈ K et x ∈ E. 1. Démontrer que 0_K · x = 0_E. On pourra partir de 0_K=0_K+0_K. 2. Démontrer que λ · 0_E = 0_E. 3.…
Exercice 3 On munit ℝ^2 de lois inhabituelles. Dans chaque cas, déterminer si l'on obtient un ℝ -espace vectoriel, en identifiant précisément l'axiome qui…

Exercice 4 Les quatre parties de ℝ^2 représentées ci-dessous sont-elles des sous-espaces vectoriels de ℝ^2 ? Justifier à chaque fois par un argument de nature…
Exercice 5 Dans chacun des cas suivants, l'ensemble F est-il un sous-espace vectoriel de E ? 1. E=ℝ^2 et F= (x;y) ∈ E | ax+by+c=0, où a, b et c sont trois…
Exercice 6 Parmi les parties suivantes de F(ℝ;ℝ), lesquelles sont des sous-espaces vectoriels ? 1. les fonctions paires 2. les fonctions impaires 3. les…
Exercice 7 Soient E un K -espace vectoriel et u, v deux vecteurs de E. On note: Vect(u;v)= λ u+μ v | (λ;μ) ∈ K^2 1. Démontrer que Vect(u;v) est un sous-espace…

Exercice 8 Dans ℝ^3, on considère les trois parties suivantes: F= (x;y;z) ∈ ℝ^3 | x+y+z=0 G= Vect ((1;1;1)) H= (x;y;z) ∈ ℝ^3 | z=0 1. Justifier que F, G et H…
Exercice 9 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un K -espace vectoriel E. 1. Démontrer que F ⊂ F+G et G ⊂ F+G. 2. Soit H un sous-espace vectoriel de E…
Exercice 10 Soient F, G et H trois sous-espaces vectoriels d'un K -espace vectoriel E. 1. Démontrer que si F ⊂ H, alors (F+G) ∩ H = F+(G ∩ H). 2. En déduire que…

Exercice 11 On reprend les sous-espaces F et G de l'exercice 8. 1. Démontrer que F et G sont supplémentaires dans ℝ^3. 2. Décomposer explicitement le vecteur…
Exercice 12 On note P l'ensemble des fonctions paires de ℝ dans ℝ, et I celui des fonctions impaires. 1. Démontrer que P ∩ I=0. 2. Soit f ∈ F(ℝ;ℝ). Vérifier que…
Exercice 13 On pose: F= f ∈ F(ℝ;ℝ) | f(0)=f(1)=0 et G= x ↦ ax+b | (a;b) ∈ ℝ^2 1. Démontrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de F(ℝ;ℝ). 2. Démontrer…
Exercice 14 On note D(ℝ;ℝ) le ℝ -espace vectoriel des applications dérivables de ℝ dans ℝ, et l'on pose: F= f ∈ D(ℝ;ℝ) | f(0)=f'(0)=0 1. Démontrer que F est un…

Exercice 15 Les familles suivantes sont-elles libres dans ℝ^3 ? Si oui, sont-elles génératrices de ℝ^3 ? 1. (u;v) avec u=(1;2;3) et v=(-1;4;6). 2. (u;v;w) avec…
Exercice 16 Les familles suivantes de F(ℝ;ℝ) sont-elles libres ? On pourra évaluer une combinaison linéaire nulle en des points bien choisis. 1. (x ↦ 1; x ↦ x;…
Exercice 17 On pose e_1=(1;1;0), e_2=(0;1;1) et e_3=(1;0;1) dans ℝ^3. 1. Démontrer que la famille (e_1;e_2;e_3) est libre. 2. Démontrer qu'elle est génératrice…
Exercice 18 L'ensemble ℂ peut être vu comme un ℂ -espace vectoriel, ou comme un ℝ -espace vectoriel, la loi externe étant dans les deux cas la multiplication…

Exercice 19 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans tout l'exercice, E désigne un K -espace vectoriel. 1. Un…
Exercice 20 On note E l'ensemble des suites réelles (u_n) vérifiant: ∀ n ∈ ℕ, u_(n+2)=5u_(n+1)-6u_n 1. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel de S(ℝ). 2.…
Exercice 21 On considère ℝ comme un ℚ -espace vectoriel. On admet que √2, √3 et √6 sont irrationnels. 1. Justifier que ℝ est bien un ℚ -espace vectoriel. 2.…