Exercice 14

1. La fonction nulle est dérivable et vérifie les deux conditions. Soient $f$, $g \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ : la fonction $\lambda f+g$ est dérivable, de dérivée $\lambda f'+g'$, et : $$(\lambda f+g)(0)=\lambda f(0)+g(0)=0 \qquad\text{et}\qquad (\lambda f+g)'(0)=\lambda f'(0)+g'(0)=0$$

2. Posons $G=\big\{x \mapsto ax+b \;\big|\; (a\,;b) \in \mathbb{R}^{2}\big\}$, l'ensemble des fonctions affines, qui est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{D}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$ puisque toute fonction affine est dérivable.

Somme directe. Soit $f \in F \cap G$, disons $f(x)=ax+b$. Alors $f(0)=b=0$ et $f'(0)=a=0$, donc $f=0$.

Somme égale à $\mathcal{D}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$. Soit $h$ une fonction dérivable. Posons : $$g : x \longmapsto h'(0)\,x+h(0) \qquad\text{et}\qquad f=h-g$$ La fonction $g$ appartient à $G$, la fonction $f$ est dérivable, et : $$f(0)=h(0)-h(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f'(0)=h'(0)-h'(0)=0$$ donc $f \in F$ et $h=f+g$. $$\boxed{\mathcal{D}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})=F \oplus G, \text{ où } G \text{ est l'ensemble des fonctions affines.}}$$ Remarque : la fonction $g$ n'est autre que la tangente au graphe de $h$ au point d'abscisse $0$. Décomposer $h$, c'est donc séparer sa partie affine tangente de ce qui reste — un reste qui, par construction, s'annule ainsi que sa dérivée en $0$.