Exercice 13

1. La fonction nulle appartient à $F$, et si $f$, $g \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ : $$(\lambda f+g)(0)=\lambda f(0)+g(0)=0 \qquad\text{et}\qquad (\lambda f+g)(1)=\lambda f(1)+g(1)=0$$ Quant à $G$, il s'écrit $G=\mathrm{Vect}\big(x \mapsto x \,;\, x \mapsto 1\big)$, donc c'est un sous-espace vectoriel d'après l'exercice 7. $$\boxed{F \text{ et } G \text{ sont des sous-espaces vectoriels de } \mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R}).}$$

2. Soit $f \in F \cap G$ : il existe $(a\,;b)$ tel que $f(x)=ax+b$ pour tout $x$, avec $f(0)=f(1)=0$. La première condition donne $b=0$, la seconde $a+b=0$, donc $a=0$. $$\boxed{F \cap G=\{0\} \text{ : les sous-espaces } F \text{ et } G \text{ sont en somme directe.}}$$

3. On veut $f(0)=0$ et $f(1)=0$, c'est-à-dire : $$h(0)-b=0 \qquad\text{et}\qquad h(1)-(a+b)=0$$

4. Soit $h \in \mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$ quelconque. En posant $g : x \mapsto \big(h(1)-h(0)\big)x+h(0)$, qui appartient à $G$, la question 3 montre que $f=h-g$ appartient à $F$. Ainsi $h=f+g \in F+G$. $$\boxed{\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})=F \oplus G}$$