Exercice 12

1. Soit $f \in \mathcal{P} \cap \mathcal{I}$. Pour tout réel $x$, on a à la fois $f(-x)=f(x)$ et $f(-x)=-f(x)$, donc $f(x)=-f(x)$, puis $2f(x)=0$ et $f(x)=0$. $$\boxed{\mathcal{P} \cap \mathcal{I}=\{0\}}$$

2. Pour tout réel $x$ : $$p(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=p(x) \qquad\text{et}\qquad i(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-i(x)$$ donc $p \in \mathcal{P}$ et $i \in \mathcal{I}$. Enfin : $$p(x)+i(x)=\frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2}=f(x)$$

3. Les ensembles $\mathcal{P}$ et $\mathcal{I}$ sont des sous-espaces vectoriels (exercice 6), leur intersection est réduite à la fonction nulle, et leur somme vaut $\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$ tout entier d'après la question 2. $$\boxed{\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})=\mathcal{P} \oplus \mathcal{I}}$$

4. On applique la question 2 à $f : x \mapsto \mathrm{e}^{x}$ : $$\boxed{\mathrm{e}^{x}=\underbrace{\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}}_{\text{paire}}+\underbrace{\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}}_{\text{impaire}}}$$ On reconnaît le cosinus et le sinus hyperboliques : leur définition n'est rien d'autre que cette décomposition.