Exercice 11

1. L'exercice 8 a établi $F \cap G=\{0_{E}\}$ et $F+G=\mathbb{R}^{3}$. La proposition 3 donne alors que la somme est directe. $$\boxed{\mathbb{R}^{3}=F \oplus G \text{ : les sous-espaces } F \text{ et } G \text{ sont supplémentaires.}}$$

2. Ici $s=\dfrac{1+2+6}{3}=3$, donc : $$\boxed{(1\,;2\,;6)=\underbrace{(-2\,;-1\,;3)}_{\in \, F}+\underbrace{(3\,;3\,;3)}_{\in \, G}}$$ Vérification : $-2-1+3=0$, donc le premier vecteur appartient bien à $F$ ✓

3. L'exercice 8 a établi $F \cap H=\mathrm{Vect}\big((1\,;-1\,;0)\big)$, qui n'est pas réduit au vecteur nul : la somme n'est pas directe. $$\boxed{F \text{ et } H \text{ ne sont pas supplémentaires dans } \mathbb{R}^{3}.}$$ Ils vérifient pourtant $F+H=\mathbb{R}^{3}$ : par exemple $(0\,;0\,;1)=(-1\,;0\,;1)+(1\,;0\,;0)$, le premier vecteur étant dans $F$ et le second dans $H$. C'est bien l'unicité de la décomposition qui fait défaut, et non son existence.