Exercice 10

1. Première inclusion. On a $F \subset H$ par hypothèse et $F \subset F+G$, donc $F \subset (F+G) \cap H$. De même $G \cap H \subset G \subset F+G$ et $G \cap H \subset H$, donc $G \cap H \subset (F+G) \cap H$. Comme $(F+G) \cap H$ est un sous-espace vectoriel, l'exercice 9 donne $F+(G \cap H) \subset (F+G) \cap H$.

Seconde inclusion. Soit $x \in (F+G) \cap H$. Il existe $f \in F$ et $g \in G$ tels que $x=f+g$, et de plus $x \in H$. Or $f \in F \subset H$, donc : $$g=x-f \in H \qquad\text{d'où}\qquad g \in G \cap H$$ et $x=f+g$ appartient à $F+(G \cap H)$. $$\boxed{F \subset H \;\Longrightarrow\; (F+G) \cap H = F+(G \cap H)}$$

2. Si $F \subset H$, alors $F \cap H=F$, et la question 1 donne directement $(\ast)$. De plus $F+H=H$, donc : $$(F+G) \cap (F+H)=(F+G) \cap H = F+(G \cap H)$$ ce qui est $(\ast\ast)$.

Si $G \subset H$, on applique la question 1 en échangeant les rôles de $F$ et $G$, la somme étant commutative : $$(F+G) \cap H=(G+F) \cap H=G+(F \cap H)=(G \cap H)+(F \cap H)$$ ce qui est $(\ast)$. Pour $(\ast\ast)$ : on a $G \cap H=G$, donc le membre de gauche vaut $F+G$ ; et $F+H$ contient $F$ et $H \supset G$, donc contient $F+G$, d'où $(F+G) \cap (F+H)=F+G$. $$\boxed{\text{Les deux identités } (\ast) \text{ et } (\ast\ast) \text{ sont vérifiées.}}$$

3. Sans hypothèse, on a toujours $F \cap H \subset F \subset F+G$ et $F \cap H \subset H$, donc $F \cap H \subset (F+G) \cap H$ ; de même pour $G \cap H$. Le membre de droite étant un sous-espace vectoriel, il contient la somme.

De même, $F \subset F+G$ et $F \subset F+H$ ; et $G \cap H \subset G \subset F+G$, $G \cap H \subset H \subset F+H$. $$\boxed{(F \cap H)+(G \cap H) \subset (F+G) \cap H \qquad\text{et}\qquad F+(G \cap H) \subset (F+G) \cap (F+H)}$$

4. Prenons dans $\mathbb{R}^{2}$ trois droites vectorielles deux à deux distinctes : $$F=\mathrm{Vect}\big((1\,;0)\big) \qquad G=\mathrm{Vect}\big((0\,;1)\big) \qquad H=\mathrm{Vect}\big((1\,;1)\big)$$ Ces droites étant deux à deux distinctes, chacune des intersections $F \cap H$ et $G \cap H$ est réduite à $\{0_{E}\}$, alors que $F+G=\mathbb{R}^{2}$. Donc : $$(F+G) \cap H = \mathbb{R}^{2} \cap H = H \qquad\text{tandis que}\qquad (F \cap H)+(G \cap H)=\{0_{E}\}$$