Exercice 9

1. Soit $x \in F$. Comme $0_{E} \in G$, on peut écrire $x=x+0_{E}$ avec $x \in F$ et $0_{E} \in G$, donc $x \in F+G$. Le raisonnement est symétrique pour $G$. $$\boxed{F \subset F+G \qquad\text{et}\qquad G \subset F+G}$$

2. Soit $x \in F+G$ : il existe $a \in F$ et $b \in G$ tels que $x=a+b$. Comme $F \subset H$ et $G \subset H$, on a $a \in H$ et $b \in H$ ; et $H$ étant un sous-espace vectoriel, il est stable par addition. $$\boxed{F+G \subset H}$$

3. L'ensemble $F+G$ est un sous-espace vectoriel d'après la proposition 2, il contient $F \cup G$ d'après la question 1, et tout sous-espace contenant $F \cup G$ le contient d'après la question 2. $$\boxed{F+G \text{ est le plus petit sous-espace vectoriel de } E \text{ contenant } F \cup G.}$$

4. Si $F+G=F$, alors $G \subset F+G=F$ d'après la question 1. Réciproquement, si $G \subset F$, la question 2 appliquée avec $H=F$ donne $F+G \subset F$, et l'inclusion réciproque vient de la question 1. $$\boxed{F+G=F \iff G \subset F}$$