Exercice 8

1. Les ensembles $F$ et $H$ sont définis par une équation linéaire homogène : le calcul de l'exercice 5 s'applique. Quant à $G$, c'est un $\mathrm{Vect}$, donc un sous-espace d'après l'exercice 7. $$\boxed{F, \; G \text{ et } H \text{ sont des sous-espaces vectoriels de } \mathbb{R}^{3}.}$$

2. Un élément de $G$ s'écrit $(t\,;t\,;t)$. Il appartient à $F$ si et seulement si $3t=0$, c'est-à-dire $t=0$. Pour $F \cap H$, on résout le système $x+y+z=0$ et $z=0$, qui donne $y=-x$. $$\boxed{F \cap G=\big\{(0\,;0\,;0)\big\} \qquad\text{et}\qquad F \cap H=\mathrm{Vect}\big((1\,;-1\,;0)\big)}$$

3. Le vecteur $(1\,;-1\,;0)$ appartient à $F$ et $(1\,;1\,;1)$ appartient à $G$. Leur somme vaut $(2\,;0\,;1)$, dont la somme des coordonnées vaut $3 \neq 0$ : elle n'appartient pas à $F$. Et elle n'est pas colinéaire à $(1\,;1\,;1)$, donc n'appartient pas à $G$. $$\boxed{F \cup G \text{ n'est pas stable par addition : ce n'est pas un sous-espace vectoriel.}}$$

4. Soit $(x\,;y\,;z) \in \mathbb{R}^{3}$. Posons $s=\dfrac{x+y+z}{3}$ et écrivons : $$(x\,;y\,;z)=\underbrace{(x-s \,;\, y-s \,;\, z-s)}_{\in \, F}+\underbrace{(s\,;s\,;s)}_{\in \, G}$$ Le premier vecteur appartient bien à $F$, puisque la somme de ses coordonnées vaut $x+y+z-3s=0$. $$\boxed{F+G=\mathbb{R}^{3}}$$