Exercice 15

1. Liberté. Soient $\lambda$ et $\mu$ tels que $\lambda u+\mu v=0_{E}$, c'est-à-dire : $$\left\{\begin{array}{l} \lambda-\mu=0 \\ 2\lambda+4\mu=0 \\ 3\lambda+6\mu=0 \end{array}\right.$$ La première ligne donne $\lambda=\mu$, et la deuxième $6\lambda=0$, donc $\lambda=\mu=0$.

Caractère générateur. Tout vecteur $\lambda u+\mu v=(\lambda-\mu \,;\, 2\lambda+4\mu \,;\, 3\lambda+6\mu)$ vérifie : $$3y-2z=3(2\lambda+4\mu)-2(3\lambda+6\mu)=0$$ Or le vecteur $(0\,;0\,;1)$ ne vérifie pas cette relation, puisque $3 \times 0-2 \times 1=-2 \neq 0$. $$\boxed{\text{La famille est libre, mais non génératrice de } \mathbb{R}^{3}.}$$ Elle engendre exactement le plan d'équation $3y-2z=0$.

2. Liberté. Le système $\lambda u+\mu v+\nu w=0_{E}$ s'écrit : $$\left\{\begin{array}{l} \lambda+\mu=0 \\ 2\lambda=0 \\ -\lambda+\mu+\nu=0 \end{array}\right.$$ La deuxième ligne donne $\lambda=0$, la première $\mu=0$, la troisième $\nu=0$.

Caractère générateur. Pour $(x\,;y\,;z) \in \mathbb{R}^{3}$, le même système avec second membre se résout en : $$\lambda=\frac{y}{2} \qquad \mu=x-\frac{y}{2} \qquad \nu=-x+y+z$$

3. On cherche une relation. Le système $\lambda u+\mu v+\nu w=0_{E}$ s'écrit : $$\left\{\begin{array}{l} \lambda+\mu-\nu=0 \\ 2\lambda+2\nu=0 \\ -\lambda+\mu-3\nu=0 \end{array}\right.$$ La deuxième ligne donne $\lambda=-\nu$, la première $\mu=2\nu$, et la troisième est alors automatiquement vérifiée. En prenant $\nu=1$ : $$-u+2v+w=-(1\,;2\,;-1)+2\,(1\,;0\,;1)+(-1\,;2\,;-3)=(0\,;0\,;0)$$