Exercice 16

1. Supposons $a+bx+cx^{2}=0$ pour tout réel $x$. En évaluant en $0$, puis en $1$ et en $-1$ : $$a=0 \qquad a+b+c=0 \qquad a-b+c=0$$ Les deux dernières donnent, par somme et différence, $c=0$ et $b=0$. $\boxed{\text{Famille libre.}}$

2. Supposons $a\cos(x)+b\sin(x)=0$ pour tout réel $x$. En $x=0$ on obtient $a=0$, en $x=\frac{\pi}{2}$ on obtient $b=0$. $\boxed{\text{Famille libre.}}$

3. Supposons $a\,\mathrm{e}^{x}+b\,\mathrm{e}^{2x}=0$ pour tout réel $x$. En $x=0$ : $a+b=0$. En $x=\ln(2)$ : $2a+4b=0$. En reportant $a=-b$, il vient $2b=0$, donc $b=0$ puis $a=0$. $\boxed{\text{Famille libre.}}$

4. Supposons $a|x|+bx=0$ pour tout réel $x$. En $x=1$ : $a+b=0$. En $x=-1$ : $a-b=0$. Donc $a=b=0$. $\boxed{\text{Famille libre.}}$

5. La formule de duplication $\cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1$ fournit, pour tout réel $x$ : $$1 \times 1+1 \times \cos(2x)+(-2) \times \cos^{2}(x)=1+\big(2\cos^{2}(x)-1\big)-2\cos^{2}(x)=0$$ C'est une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls. $\boxed{\text{Famille liée.}}$

Méthode : pour une famille de fonctions, l'égalité $\sum \lambda_{k}f_{k}=0$ porte sur toutes les valeurs de $x$. On peut donc en évaluer autant qu'on veut, et c'est le choix des points qui rend le système facile à résoudre.