Exercice 17

1. Soient $\lambda$, $\mu$, $\nu$ tels que $\lambda e_{1}+\mu e_{2}+\nu e_{3}=0_{E}$, c'est-à-dire : $$\left\{\begin{array}{l} \lambda+\nu=0 \\ \lambda+\mu=0 \\ \mu+\nu=0 \end{array}\right.$$ Les deux premières donnent $\nu=-\lambda$ et $\mu=-\lambda$, et la troisième devient $-2\lambda=0$, d'où $\lambda=0$, puis $\mu=\nu=0$. $$\boxed{\text{La famille } (e_{1}\,;e_{2}\,;e_{3}) \text{ est libre.}}$$

2. Soit $(x\,;y\,;z) \in \mathbb{R}^{3}$. On résout : $$\left\{\begin{array}{l} \lambda+\nu=x \\ \lambda+\mu=y \\ \mu+\nu=z \end{array}\right.$$ En additionnant les trois lignes : $2(\lambda+\mu+\nu)=x+y+z$. Posons $s=\dfrac{x+y+z}{2}$. En retranchant successivement chaque ligne : $$\boxed{\mu=s-x \qquad \nu=s-y \qquad \lambda=s-z}$$ Ce triplet existe toujours : la famille est génératrice.

3. Libre et génératrice, la famille est une base de $\mathbb{R}^{3}$. Pour le vecteur $(1\,;2\,;3)$, on a $s=\dfrac{1+2+3}{2}=3$, d'où $\lambda=3-3=0$, $\mu=3-1=2$ et $\nu=3-2=1$. $$\boxed{(1\,;2\,;3)=0 \cdot e_{1}+2\,e_{2}+1\,e_{3}}$$ Vérification : $2\,(0\,;1\,;1)+(1\,;0\,;1)=(1\,;2\,;3)$ ✓

4. Dans la base canonique, les coordonnées d'un vecteur sont ses composantes. $$\boxed{\text{Les coordonnées sont } 1, \; 2 \text{ et } 3.}$$ Un même vecteur a donc des coordonnées différentes selon la base choisie — ici $(0\,;2\,;1)$ et $(1\,;2\,;3)$. La base canonique n'a rien de privilégié mathématiquement, comme le souligne le cours.