Exercice 18

1. L'ensemble $(\mathbb{C}\,;+)$ est un groupe abélien. La multiplication des complexes fournit une application de $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$, et sa restriction une application de $\mathbb{R} \times \mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$. Dans les deux cas, les axiomes D, A et N sont des règles de calcul dans le corps $\mathbb{C}$. $$\boxed{\mathbb{C} \text{ est à la fois un } \mathbb{C}\text{-espace vectoriel et un } \mathbb{R}\text{-espace vectoriel.}}$$

2. Liberté. Si $\lambda \cdot 1=0$ avec $\lambda \in \mathbb{C}$, alors $\lambda=0$. Caractère générateur. Tout $z \in \mathbb{C}$ s'écrit $z=z \cdot 1$. $$\boxed{(1) \text{ est une base du } \mathbb{C}\text{-espace vectoriel } \mathbb{C}.}$$

3. Liberté. Soient $a$ et $b$ réels tels que $a \cdot 1+b \cdot \mathrm{i}=0$. L'unicité de la forme algébrique donne $a=b=0$.

Caractère générateur. Tout complexe $z$ s'écrit $z=a+\mathrm{i}b$ avec $a$ et $b$ réels. $$\boxed{(1\,;\mathrm{i}) \text{ est une base du } \mathbb{R}\text{-espace vectoriel } \mathbb{C}.}$$

4. Dans le $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$, les coefficients sont autorisés à être complexes, et : $$\mathrm{i} \cdot 1+(-1) \cdot \mathrm{i}=\mathrm{i}-\mathrm{i}=0$$ avec $(\mathrm{i}\,;-1) \neq (0\,;0)$. $$\boxed{\text{La famille } (1\,;\mathrm{i}) \text{ est liée sur } \mathbb{C}, \text{ alors qu'elle est libre sur } \mathbb{R}.}$$ Conclusion : la liberté d'une famille n'est pas une propriété des seuls vecteurs. Elle dépend du corps des scalaires, exactement comme l'injectivité d'une application dépendait de son ensemble de départ au chapitre 2.