Exercice 19 Vrai ou faux

1. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la conséquence immédiate de la proposition 1, obtenue en prenant $\lambda=-1_{K}$ et $x=y$. Le cours en fait le premier réflexe de vérification.

2. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Deux droites vectorielles distinctes du plan en fournissent un contre-exemple (exercice 4). La proposition 2 précise que la réunion n'est un sous-espace que si l'un des deux contient l'autre.

3. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le premier point de la proposition 2, valable pour une famille quelconque.

4. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le troisième point de la proposition 2. L'exercice 9 précise que c'est même le plus petit sous-espace contenant les deux.

5. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Il faut de plus que leur somme soit $E$ tout entier. Deux droites vectorielles distinctes de $\mathbb{R}^{3}$ ont une intersection réduite au vecteur nul, sans être supplémentaires.

6. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Si $x_{1}=0_{E}$, la combinaison $1_{K} \cdot x_{1}+0_{K} \cdot x_{2}+\dots=0_{E}$ est nulle sans que tous les coefficients le soient.

7. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ La famille $\big((1\,;0\,;0)\big)$ est libre dans $\mathbb{R}^{3}$, mais n'engendre qu'une droite. L'exercice 15 en donne un autre exemple, avec deux vecteurs.

8. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la propriété caractéristique d'une base, signalée dans la remarque du cours : le caractère générateur donne l'existence, la liberté l'unicité.

9. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Elle ne contient pas le vecteur nul. C'est l'exemple $D'$ du cours, repris au panneau (c) de l'exercice 4.

10. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est exactement la proposition 1 : non-vacuité et stabilité par $\lambda x+y$.