Exercice 20

1. L'ensemble $E$ est une partie de $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, et la suite nulle vérifie la relation. Soient $u$, $v \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$(\lambda u+v)_{n+2}=\lambda u_{n+2}+v_{n+2}=\lambda\big(5u_{n+1}-6u_{n}\big)+\big(5v_{n+1}-6v_{n}\big)=5(\lambda u+v)_{n+1}-6(\lambda u+v)_{n}$$

2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$5 \times 2^{n+1}-6 \times 2^{n}=(10-6) \times 2^{n}=4 \times 2^{n}=2^{n+2}$$

3. Soient $\lambda$ et $\mu$ tels que $\lambda a+\mu b=0$, c'est-à-dire $\lambda 2^{n}+\mu 3^{n}=0$ pour tout $n$. En prenant $n=0$ puis $n=1$ : $$\lambda+\mu=0 \qquad\text{et}\qquad 2\lambda+3\mu=0$$ En reportant $\lambda=-\mu$ dans la seconde, il vient $\mu=0$, puis $\lambda=0$. $$\boxed{\text{La famille } (a\,;b) \text{ est libre.}}$$

4. Le système $\lambda+\mu=u_{0}$, $2\lambda+3\mu=u_{1}$ se résout en soustrayant deux fois la première ligne à la seconde : $$\boxed{\mu=u_{1}-2u_{0} \qquad\text{et}\qquad \lambda=3u_{0}-u_{1}}$$ et cette solution est unique. Posons alors $v=\lambda a+\mu b$, qui appartient à $E$ d'après la question 1. Par construction $v_{0}=u_{0}$ et $v_{1}=u_{1}$.

Montrons par récurrence double que $u_{n}=v_{n}$ pour tout $n$. C'est vrai aux rangs $0$ et $1$. Si c'est vrai aux rangs $n$ et $n+1$, alors : $$u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}=5v_{n+1}-6v_{n}=v_{n+2}$$ les deux suites vérifiant la même relation de récurrence. $$\boxed{u=\lambda a+\mu b \text{ : la famille } (a\,;b) \text{ est génératrice de } E.}$$

5. Libre d'après la question 3 et génératrice d'après la question 4 : $$\boxed{(a\,;b) \text{ est une base de } E.}$$ Pour $u_{0}=1$ et $u_{1}=0$, la question 4 donne $\lambda=3$ et $\mu=-2$ : $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_{n}=3 \times 2^{n}-2 \times 3^{n}}$$ Vérification : $u_{0}=3-2=1$ et $u_{1}=6-6=0$ ✓