Exercice 21

1. L'ensemble $(\mathbb{R}\,;+)$ est un groupe abélien, et la multiplication fournit une application de $\mathbb{Q} \times \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Les quatre axiomes sont des règles de calcul dans le corps $\mathbb{R}$. $$\boxed{\mathbb{R} \text{ est un } \mathbb{Q}\text{-espace vectoriel.}}$$

2. Soient $a$ et $b$ deux rationnels tels que $a \times 1+b\sqrt{2}=0$. Si $b \neq 0$, alors : $$\sqrt{2}=-\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$$ ce qui contredit l'irrationalité de $\sqrt{2}$. Donc $b=0$, puis $a=0$. $$\boxed{\text{La famille } \big(1\,;\sqrt{2}\big) \text{ est libre dans le } \mathbb{Q}\text{-espace vectoriel } \mathbb{R}.}$$

3. Par définition, $\mathrm{Vect}\big(1\,;\sqrt{2}\big)$ est l'ensemble des $a \times 1+b\sqrt{2}$ avec $a$ et $b$ rationnels, ce qui est exactement la définition de $\mathbb{Q}\big[\sqrt{2}\big]$ donnée au chapitre 5. $$\boxed{\mathrm{Vect}\big(1\,;\sqrt{2}\big)=\mathbb{Q}\big[\sqrt{2}\big]}$$

4. Supposons $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$ avec $(a\,;b) \in \mathbb{Q}^{2}$. En élevant au carré : $$3=a^{2}+2b^{2}+2ab\sqrt{2}$$ Si $ab \neq 0$, on en tire $\sqrt{2}=\dfrac{3-a^{2}-2b^{2}}{2ab} \in \mathbb{Q}$, ce qui est absurde. Donc $a=0$ ou $b=0$.

• Si $b=0$, alors $\sqrt{3}=a \in \mathbb{Q}$, ce qui est absurde.

• Si $a=0$, alors $\sqrt{3}=b\sqrt{2}$, donc en multipliant par $\sqrt{2}$ : $\sqrt{6}=2b \in \mathbb{Q}$, ce qui est absurde.

5. Si la famille $\big(1\,;\sqrt{2}\big)$ était génératrice de $\mathbb{R}$, on aurait $\mathbb{R}=\mathrm{Vect}\big(1\,;\sqrt{2}\big)=\mathbb{Q}\big[\sqrt{2}\big]$. Or $\sqrt{3}$ est un réel qui n'appartient pas à cet ensemble. $$\boxed{\text{La famille } \big(1\,;\sqrt{2}\big) \text{ n'est pas génératrice de } \mathbb{R}.}$$

6. La réponse est négative : $$\boxed{\text{Non : le } \mathbb{Q}\text{-espace vectoriel } \mathbb{R} \text{ n'admet aucune famille génératrice finie.}}$$ Le procédé de la question 4 se généralise : quelle que soit la famille finie choisie, on peut construire un réel qui lui échappe. La démonstration complète relève de la théorie de la dimension, mais l'idée se résume ainsi : à partir d'une famille de $n$ vecteurs, on n'atteint que les sommes $\lambda_{1}x_{1}+\dots+\lambda_{n}x_{n}$ à coefficients rationnels, dont l'ensemble reste « de la taille » de $\mathbb{Q}^{n}$ — bien trop petit pour épuiser $\mathbb{R}$.

Cet exemple mérite d'être retenu : tous les espaces vectoriels rencontrés jusqu'ici admettaient une base finie, mais ce n'est nullement la règle générale. Le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$ est dans le même cas.