Exercice 6

1. La fonction nulle est paire, et si $f$ et $g$ le sont, alors $(\lambda f+g)(-x)=\lambda f(-x)+g(-x)=\lambda f(x)+g(x)=(\lambda f+g)(x)$. $\boxed{\text{Sous-espace vectoriel.}}$

2. Le même calcul, avec un signe $-$ des deux côtés, s'applique. $\boxed{\text{Sous-espace vectoriel.}}$

3. La fonction $\mathrm{Id}_{\mathbb{R}}$ est croissante, mais $(-1) \cdot \mathrm{Id}_{\mathbb{R}}$ est décroissante. $\boxed{\text{Non.}}$

4. La fonction nulle est bornée, et si $|f| \leqslant M$ et $|g| \leqslant M'$, alors $|\lambda f+g| \leqslant |\lambda|M+M'$. $\boxed{\text{Sous-espace vectoriel.}}$

5. La fonction constante égale à $1$ est positive, mais son opposée ne l'est pas. $\boxed{\text{Non.}}$

6. La fonction nulle convient, et $(\lambda f+g)(1)=\lambda f(1)+g(1)=0$. $\boxed{\text{Sous-espace vectoriel.}}$

7. La fonction nulle ne vérifie pas $f(1)=1$. $\boxed{\text{Non.}}$

8. Cet ensemble n'est autre que $\mathrm{Vect}\big(x \mapsto 1 \,;\, x \mapsto x \,;\, x \mapsto x^{2}\big)$, donc un sous-espace vectoriel d'après l'exercice 7. $\boxed{\text{Sous-espace vectoriel.}}$

Piège de la question 8 : l'ensemble des fonctions polynomiales de degré exactement $2$ n'en serait pas un — il ne contient pas la fonction nulle, et la somme de $x \mapsto x^{2}$ et de $x \mapsto -x^{2}+x$ est de degré $1$.