Exercice 5

1. Le couple $(0\,;0)$ appartient à $F$ si et seulement si $c=0$. Réciproquement, lorsque $c=0$, soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $(x\,;y)$, $(x'\,;y')$ dans $F$ : $$a(\lambda x+x')+b(\lambda y+y')=\lambda(ax+by)+(ax'+by')=0$$

2. L'équation est linéaire et homogène, et le même calcul s'applique. $$\boxed{F \text{ est un sous-espace vectoriel de } \mathbb{R}^{3}.}$$

3. On a $0+0+3 \times 0=0 \neq 2$. $$\boxed{\text{Ce n'est pas un sous-espace vectoriel : } 0_{E} \notin F.}$$

4. Les vecteurs $(1\,;0)$ et $(0\,;1)$ appartiennent à $F$, mais leur somme $(1\,;1)$ vérifie $xy=1 \neq 0$. $$\boxed{\text{Ce n'est pas un sous-espace vectoriel : } F \text{ n'est pas stable par addition.}}$$

5. La suite nulle converge. Et si $(x_{n})$ et $(y_{n})$ convergent, il en va de même de $\lambda(x_{n})+(y_{n})$, par linéarité de la limite. $$\boxed{F \text{ est un sous-espace vectoriel de } \mathcal{S}(\mathbb{R}).}$$

6. La suite nulle converge vers $0$, et non vers $\alpha$ si $\alpha \neq 0$. Réciproquement, si $\alpha=0$, l'ensemble des suites de limite nulle est stable par combinaison linéaire. $$\boxed{F \text{ est un sous-espace vectoriel si et seulement si } \alpha=0.}$$

7. La suite nulle ne tend pas vers $+\infty$. De plus, si $(x_{n})$ tend vers $+\infty$, alors $(-1) \cdot (x_{n})$ tend vers $-\infty$. $$\boxed{\text{Ce n'est pas un sous-espace vectoriel.}}$$

8. La suite nulle vérifie la relation. Et si $(x_{n})$ et $(y_{n})$ la vérifient, alors pour tout $n$ : $$(\lambda x+y)_{n+2}=\lambda x_{n+2}+y_{n+2}=\lambda\big(5x_{n+1}-2x_{n}\big)+\big(5y_{n+1}-2y_{n}\big)=5(\lambda x+y)_{n+1}-2(\lambda x+y)_{n}$$

9. La fonction nulle convient, et pour $f$, $g$ dans $F$ : $$(\lambda f+g)(0)=\lambda f(0)+g(0)=\lambda \pi f(1)+\pi g(1)=\pi\,(\lambda f+g)(1)$$

Piège : les questions 1, 3, 6 et 7 échouent toutes pour la même raison — une condition non homogène, qui exclut le vecteur nul. C'est le premier test à effectuer.