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ExerciceMaths approfondies, chapitre 7 — Endomorphismes · Applications linéaires

Exercice 1

Démonstration

Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Justifier, en exhibant un contre-exemple le cas échéant.

1. f:ℝ2⟶ℝ2(x ;y)⟼(2x−y ; x+3y)\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ & (x\,;y) & \longmapsto & (2x-y \,;\, x+3y) \end{array}

2. f:ℝ2⟶ℝ2(x ;y)⟼(x+1 ; y)\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ & (x\,;y) & \longmapsto & (x+1 \,;\, y) \end{array}

3. f:ℝ2⟶ℝ(x ;y)⟼xy\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x\,;y) & \longmapsto & xy \end{array}

4. f:ℝ3⟶ℝ2(x ;y ;z)⟼(x−y ; y−z)\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R}^{3} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ & (x\,;y\,;z) & \longmapsto & (x-y \,;\, y-z) \end{array}

5. f:ℝ2⟶ℝ2(x ;y)⟼(x2 ; y)\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ & (x\,;y) & \longmapsto & \big(x^{2} \,;\, y\big) \end{array}

6. f:ℝ⟶ℝx⟼∣x∣\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & |x| \end{array}

7. f:ℱ(ℝ ;ℝ)⟶ℝg⟼g(0)\begin{array}{r|ccl} f : & \mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & g & \longmapsto & g(0) \end{array}

8. f:𝒟(ℝ ;ℝ)⟶ℱ(ℝ ;ℝ)g⟼g′\begin{array}{r|ccl} f : & \mathcal{D}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R}) \\ & g & \longmapsto & g' \end{array}

9. f:𝒮(ℝ)⟶𝒮(ℝ)(un)⟼(un+1)\begin{array}{r|ccl} f : & \mathcal{S}(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathcal{S}(\mathbb{R}) \\ & (u_{n}) & \longmapsto & (u_{n+1}) \end{array}

10. f:𝒮(ℝ)⟶𝒮(ℝ)(un)⟼(un2)\begin{array}{r|ccl} f : & \mathcal{S}(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathcal{S}(\mathbb{R}) \\ & (u_{n}) & \longmapsto & \big(u_{n}^{2}\big) \end{array}

Corrigé

Le premier réflexe est de tester f(0E)=0Ff(0_{E})=0_{F} ; lorsque ce test passe, on applique la caractérisation de la proposition 1.

1. Pour λ∈ℝ\lambda \in \mathbb{R} et deux vecteurs u=(x ;y)u=(x\,;y), u′=(x′ ;y′)u'=(x'\,;y') : f(λu+u′)=(2(λx+x′)−(λy+y′) ; (λx+x′)+3(λy+y′))=λf(u)+f(u′)f(\lambda u+u')=\big(2(\lambda x+x')-(\lambda y+y') \,;\, (\lambda x+x')+3(\lambda y+y')\big)=\lambda f(u)+f(u') Lineˊaire.\boxed{\text{Linéaire.}}

2. On a f(0 ;0)=(1 ;0)≠(0 ;0)f(0\,;0)=(1\,;0) \neq (0\,;0). Non lineˊaire.\boxed{\text{Non linéaire.}}

3. On a f(2⋅(1 ;1))=f(2 ;2)=4f\big(2 \cdot (1\,;1)\big)=f(2\,;2)=4, alors que 2 f(1 ;1)=22\,f(1\,;1)=2. Non lineˊaire.\boxed{\text{Non linéaire.}}

4. C'est l'exemple traité dans le cours. Lineˊaire.\boxed{\text{Linéaire.}}

5. On a f(2⋅(1 ;0))=(4 ;0)f\big(2 \cdot (1\,;0)\big)=(4\,;0), alors que 2 f(1 ;0)=(2 ;0)2\,f(1\,;0)=(2\,;0). Non lineˊaire.\boxed{\text{Non linéaire.}}

6. On a f(−1)=1f(-1)=1, alors que −f(1)=−1-f(1)=-1. Non lineˊaire.\boxed{\text{Non linéaire.}}

7. Pour λ∈ℝ\lambda \in \mathbb{R} et deux fonctions gg, hh : (λg+h)(0)=λg(0)+h(0)(\lambda g+h)(0)=\lambda g(0)+h(0). Lineˊaire.\boxed{\text{Linéaire.}}

8. La dérivation vérifie (λg+h)′=λg′+h′(\lambda g+h)'=\lambda g'+h'. Lineˊaire.\boxed{\text{Linéaire.}}

9. Le décalage se lit terme à terme : (λu+v)n+1=λun+1+vn+1(\lambda u+v)_{n+1}=\lambda u_{n+1}+v_{n+1}. Lineˊaire.\boxed{\text{Linéaire.}}

10. On a f(2u)=(4un2)f(2u)=\big(4u_{n}^{2}\big), alors que 2f(u)=(2un2)2f(u)=\big(2u_{n}^{2}\big). Non lineˊaire.\boxed{\text{Non linéaire.}}

Piège : le test du vecteur nul élimine mais ne valide pas. Les questions 3, 5, 6 et 10 vérifient toutes f(0E)=0Ff(0_{E})=0_{F} sans être linéaires pour autant.

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