Feuille d'exercicesMaths approfondies, chapitre 7

Endomorphismes

22 exercices corrigés · 7 10 4

Applications linéaires

Exercice 1 Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Justifier, en exhibant un contre-exemple le cas échéant. 1. begin array{r|ccl} f: & ℝ^2 &…
Exercice 2 Reprendre les applications de l'exercice 1 qui sont linéaires, et préciser pour chacune s'il s'agit d'un endomorphisme, d'une forme linéaire, ou…
Exercice 3 1. Soit f ∈ L(ℝ), où ℝ est vu comme ℝ -espace vectoriel. Démontrer qu'il existe un réel a tel que f(x)=ax pour tout x. 2. À quelle condition sur a…
Exercice 4 Soient E un K -espace vectoriel muni d'une base (e_1;e_2), et F un K -espace vectoriel. 1. Soient f et g dans L(E;F) telles que f(e_1)=g(e_1) et…
Exercice 5 Pour θ ∈ ℝ, on définit la rotation d'angle θ par: begin array{r|ccl} r_θ: & ℝ^2 & longrightarrow & ℝ^2 & (x;y) & longmapsto & (xcos θ-ysin θ; xsin…

Exercice 6 Pour chacune des applications linéaires suivantes, déterminer Ker f et Im f, en donnant à chaque fois une famille génératrice ou une équation…
Exercice 7 Pour chacune des quatre applications de l'exercice 6, dire si elle est injective, surjective, bijective, en appliquant le théorème 1. Vérifier…
Exercice 8 On définit sur S(ℝ) le décalage à gauche et le décalage à droite: δ ((u_0;u_1;u_2;…))=(u_1;u_2;u_3;…) tau ((u_0;u_1;u_2;…))=(0;u_0;u_1;…) 1.…
Exercice 9 1. On pose φ(x;y;z)=x+2y-z. Démontrer que φ est une forme linéaire sur ℝ^3, puis déterminer Ker φ et Im φ. 2. Démontrer que les seuls sous-espaces…
Exercice 10 Soient E, F, G trois K -espaces vectoriels, f ∈ L(E;F) et g ∈ L(F;G). 1. Démontrer que Ker f ⊂ Ker (g ∘ f) et que Im (g ∘ f) ⊂ Im g. 2. Démontrer…

Exercice 11 1. Soient f, g ∈ L(E;F) et λ ∈ K. Démontrer que λ f+g est encore une application linéaire. 2. En déduire que L(E;F) est un sous-espace vectoriel de…
Exercice 12 1. On note ℝ[X] l'espace des fonctions polynomiales réelles, et l'on pose: D: P longmapsto P' et M: P longmapsto (x ↦ x P(x)) Démontrer que D et M…
Exercice 13 1. Soit f ∈ L(E) bijective. Démontrer que f^(-1) est linéaire. 2. En déduire que GL(E) est un sous-groupe du groupe S(E) des bijections de E. 3.…
Exercice 14 Pour λ ∈ K, on appelle homothétie de rapport λ l'application h_λ: x ↦ λ · x de E dans E. 1. Démontrer que h_λ ∈ L(E), et que h_λ ∘ h_μ=h_λμ. 2.…

Exercice 15 Le plan ci-dessous est muni de deux droites vectorielles D et Δ. Un vecteur x y est représenté, ainsi que deux vecteurs u et v obtenus à partir de…
Exercice 16 A. Pour chacune des applications suivantes, vérifier qu'il s'agit d'un projecteur, puis déterminer Ker p et Im p et vérifier le théorème 2. 1.…
Exercice 17 Soit p un projecteur d'un K -espace vectoriel E, et l'on pose q= Id_E-p. 1. Démontrer que q est un projecteur. 2. Démontrer que Ker q = Im p et que…
Exercice 18 Soit s une symétrie d'un ℝ -espace vectoriel E, et l'on pose p= 1/2 (s+ Id_E). 1. Vérifier que p est un projecteur, conformément à la proposition 4.…
Exercice 19 Le théorème 2 associe à tout projecteur un couple de sous-espaces supplémentaires. Cet exercice établit la réciproque. Soient F et G deux…

Exercice 20 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans tout l'exercice, f désigne une application linéaire de E…
Exercice 21 On considère l'application définie sur ℝ^3 par: f(x;y;z)= (2x-y-z; -x+2y-z; -x-y+2z) 1. Démontrer que f est un endomorphisme de ℝ^3. 2. Déterminer…
Exercice 22 Soient p et q deux projecteurs d'un ℝ -espace vectoriel E. 1. Démontrer que si p ∘ q = q ∘ p = 0, alors p+q est un projecteur. 2. On suppose…