Exercice 5

1. Chaque coordonnée de $r_{\theta}(x\,;y)$ est une expression linéaire homogène en $x$ et $y$ : la linéarité se vérifie coordonnée par coordonnée, comme à l'exercice 1. $$\boxed{r_{\theta} \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{2})}$$

2. Posons $(X\,;Y)=r_{\theta'}(x\,;y)$. La première coordonnée de $r_{\theta}(X\,;Y)$ vaut : $$\begin{aligned} X\cos\theta-Y\sin\theta &= \big(x\cos\theta'-y\sin\theta'\big)\cos\theta-\big(x\sin\theta'+y\cos\theta'\big)\sin\theta\\ &= x\big(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta'\big)-y\big(\sin\theta'\cos\theta+\cos\theta'\sin\theta\big)\\ &= x\cos(\theta+\theta')-y\sin(\theta+\theta') \end{aligned}$$ Le calcul de la seconde coordonnée est identique et donne $x\sin(\theta+\theta')+y\cos(\theta+\theta')$. $$\boxed{r_{\theta} \circ r_{\theta'}=r_{\theta+\theta'}}$$

3. En prenant $\theta'=-\theta$, il vient $r_{\theta} \circ r_{-\theta}=r_{0}=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^{2}}$, et de même dans l'autre ordre. $$\boxed{r_{\theta} \text{ est un automorphisme de } \mathbb{R}^{2}, \text{ de réciproque } r_{-\theta}.}$$

4. Une application bijective a un noyau réduit au vecteur nul et une image égale à l'espace d'arrivée. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, r_{\theta}=\big\{(0\,;0)\big\} \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\, r_{\theta}=\mathbb{R}^{2}}$$

5. D'après la question 2, $r_{\theta} \circ r_{\theta}=r_{2\theta}$, et cette application vaut $\mathrm{Id}$ si et seulement si $\cos(2\theta)=1$ et $\sin(2\theta)=0$, c'est-à-dire $2\theta \equiv 0 \; [2\pi]$. $$\boxed{r_{\theta} \text{ est une symétrie si et seulement si } \theta \equiv 0 \; [\pi].}$$ On obtient alors $r_{\theta}=\mathrm{Id}$ si $\theta \equiv 0 \; [2\pi]$, et $r_{\theta}=-\mathrm{Id}$ si $\theta \equiv \pi \; [2\pi]$ : la symétrie centrale.