Exercice 4

1. Soit $x \in E$. Comme $(e_{1}\,;e_{2})$ est une base, il existe $(\lambda\,;\mu)$ tel que $x=\lambda e_{1}+\mu e_{2}$. Par linéarité de $f$ puis de $g$ : $$f(x)=\lambda f(e_{1})+\mu f(e_{2})=\lambda g(e_{1})+\mu g(e_{2})=g(x)$$

$$\boxed{f=g}$$ Une application linéaire est donc entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base.

2. Existence. Pour $x \in E$, la décomposition $x=\lambda e_{1}+\mu e_{2}$ est unique, puisque $(e_{1}\,;e_{2})$ est une base. On peut donc poser sans ambiguïté : $$f(x)=\lambda y_{1}+\mu y_{2}$$ Cette application est linéaire : si $x=\lambda e_{1}+\mu e_{2}$ et $x'=\lambda' e_{1}+\mu' e_{2}$, alors $\alpha x+x'=(\alpha\lambda+\lambda')e_{1}+(\alpha\mu+\mu')e_{2}$, d'où : $$f(\alpha x+x')=(\alpha\lambda+\lambda')y_{1}+(\alpha\mu+\mu')y_{2}=\alpha f(x)+f(x')$$ Enfin $f(e_{1})=y_{1}$ et $f(e_{2})=y_{2}$, en prenant respectivement $(\lambda\,;\mu)=(1\,;0)$ et $(0\,;1)$.

Unicité. C'est la question 1. $$\boxed{\text{Il existe une unique } f \in \mathcal{L}(E\,;F) \text{ telle que } f(e_{1})=y_{1} \text{ et } f(e_{2})=y_{2}.}$$

3. C'est une base. La famille est libre : $\lambda(1\,;1)+\mu(1\,;-1)=(0\,;0)$ donne $\lambda+\mu=0$ et $\lambda-\mu=0$, donc $\lambda=\mu=0$. Elle est génératrice : pour $(x\,;y) \in \mathbb{R}^{2}$, on résout $\lambda+\mu=x$ et $\lambda-\mu=y$, ce qui donne : $$\lambda=\frac{x+y}{2} \qquad\text{et}\qquad \mu=\frac{x-y}{2}$$

L'endomorphisme. D'après la question 2 : $$f(x\,;y)=\lambda\,(2\,;0)+\mu\,(0\,;2)=(2\lambda \,;\, 2\mu)$$

$$\boxed{f(x\,;y)=(x+y \,;\, x-y)}$$ Vérification : $f(1\,;1)=(2\,;0)$ et $f(1\,;-1)=(0\,;2)$ ✓