Exercice 3

1. Posons $a=f(1)$. Pour tout réel $x$, l'homogénéité donne : $$f(x)=f(x \cdot 1)=x\,f(1)=ax$$

2. Si $a=0$, alors $f=0$, dont le noyau est $\mathbb{R}$ tout entier : $f$ n'est pas injective. Si $a \neq 0$, l'application $y \mapsto \dfrac{y}{a}$ est une réciproque. $$\boxed{f \text{ est un automorphisme de } \mathbb{R} \text{ si et seulement si } a \neq 0.}$$

3. Notons $(e_{1}\,;e_{2})$ la base canonique de $\mathbb{R}^{2}$ et posons $a=\varphi(e_{1})$, $b=\varphi(e_{2})$. Tout vecteur s'écrit $(x\,;y)=x\,e_{1}+y\,e_{2}$, d'où par linéarité : $$\varphi(x\,;y)=x\,\varphi(e_{1})+y\,\varphi(e_{2})=ax+by$$

4. Le même raisonnement, avec la base canonique $(e_{1}\,;\dots\,;e_{n})$ de $\mathbb{R}^{n}$ et $a_{k}=\varphi(e_{k})$, donne : $$\boxed{\varphi(x_{1}\,;\dots\,;x_{n})=\sum_{k=1}^{n} a_{k}x_{k}}$$ Les formes linéaires sur $\mathbb{R}^{n}$ sont donc exactement les expressions linéaires homogènes en les coordonnées.