ExerciceMaths approfondies, chapitre 7 — Endomorphismes · Applications linéaires

Exercice 2

Démonstration

Reprendre les applications de l'exercice 1 qui sont linéaires, et préciser pour chacune s'il s'agit d'un endomorphisme, d'une forme linéaire, ou d'aucun des deux. Pour la première, démontrer de plus qu'il s'agit d'un automorphisme.

Corrigé

	Nature	Justification
1.	endomorphisme de $\mathbb{R}^{2}$	Même espace au départ et à l'arrivée.
4.	aucun des deux	Départ $\mathbb{R}^{3}$ , arrivée $\mathbb{R}^{2}$ : espaces différents, et l'arrivée n'est pas le corps.
7.	forme linéaire sur $\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$	L'espace d'arrivée est $\mathbb{R}$ , le corps des scalaires.
8.	aucun des deux	Départ $\mathcal{D}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$ , arrivée $\mathcal{F}(\mathbb{R}\,;\mathbb{R})$ .
9.	endomorphisme de $\mathcal{S}(\mathbb{R})$	Même espace au départ et à l'arrivée.

Cas de la première application. Déterminons son noyau : $\left\{\begin{array}{l} 2x-y=0 \\ x+3y=0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} y=2x \\ x+6x=0 \end{array}\right. \iff x=y=0$ Donc $\mathrm{Ker}\, f=\{(0\,;0)\}$ et $f$ est injective d'après le théorème 1. Pour la surjectivité, soit $(a\,;b) \in \mathbb{R}^{2}$  ; on résout : $\left\{\begin{array}{l} 2x-y=a \\ x+3y=b \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{3a+b}{7} \\[2mm] y=\dfrac{2b-a}{7} \end{array}\right.$

\boxed{f \text{ est un automorphisme de } \mathbb{R}^{2}.}

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Dans l'édifice

Applications linéaires Groupes

Thèmes

applications linéaires, endomorphismes, formes linéaires, automorphismes

Notions

application linéaire, isomorphisme, groupe linéaire