Exercice 6

1. Noyau. On résout $x+y+z=0$ et $x-y=0$, soit $x=y$ puis $z=-2x$ : $$\mathrm{Ker}\, f=\big\{(t\,;t\,;-2t) \;\big|\; t \in \mathbb{R}\big\}=\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;-2)\big)$$ Image. On a $f(1\,;0\,;0)=(1\,;1)$ et $f(0\,;1\,;0)=(1\,;-1)$. Ces deux vecteurs sont non colinéaires, donc engendrent $\mathbb{R}^{2}$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f=\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;-2)\big) \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\, f=\mathbb{R}^{2}}$$

2. Noyau. Les équations $x-y=0$ et $x+y=0$ donnent $x=y=0$.

Image. Elle est engendrée par $f(1\,;0)=(1\,;1\,;2)$ et $f(0\,;1)=(-1\,;1\,;0)$. Ces deux vecteurs vérifient tous deux $a+b-c=0$, et ils ne sont pas colinéaires : ils engendrent donc le plan d'équation $a+b-c=0$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f=\big\{(0\,;0)\big\} \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\, f=\big\{(a\,;b\,;c) \in \mathbb{R}^{3} \;\big|\; a+b-c=0\big\}}$$

3. Noyau. Le système $x+y=0$, $y+z=0$, $z+x=0$ donne $y=-x$, $z=-y=x$, puis $z+x=2x=0$, d'où $x=y=z=0$.

Image. L'application est injective ; pour la surjectivité, on résout $x+y=a$, $y+z=b$, $z+x=c$. En additionnant, $2(x+y+z)=a+b+c$, puis en retranchant chaque ligne on obtient une solution pour tout $(a\,;b\,;c)$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f=\big\{(0\,;0\,;0)\big\} \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\, f=\mathbb{R}^{3}}$$

4. Noyau. Les équations $x=y$, $y=z$ et $z=x$ donnent $x=y=z$.

Image. La somme des trois coordonnées de $f(x\,;y\,;z)$ vaut $(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$ : l'image est donc contenue dans le plan $\mathcal{P}$ d'équation $a+b+c=0$. Or $f(1\,;0\,;0)=(1\,;0\,;-1)$ et $f(0\,;1\,;0)=(-1\,;1\,;0)$ appartiennent à $\mathcal{P}$ et ne sont pas colinéaires. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f=\mathrm{Vect}\big((1\,;1\,;1)\big) \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\, f=\big\{(a\,;b\,;c) \in \mathbb{R}^{3} \;\big|\; a+b+c=0\big\}}$$