ExerciceMaths approfondies, chapitre 7 — Endomorphismes · Noyau et image

Exercice 7

Calcul

Pour chacune des quatre applications de l'exercice 6, dire si elle est injective, surjective, bijective, en appliquant le théorème 1. Vérifier ensuite, sur chacune, la remarque du cours concernant les dimensions du noyau et de l'image.

Corrigé

Le théorème 1 ramène l'injectivité à la seule condition $\mathrm{Ker}\, f=\{0_{E}\}$ , et la surjectivité à $\mathrm{Im}\, f = F$ .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & \text{Injective} & \text{Surjective} & \dim \mathrm{Ker}\, f & \dim \mathrm{Im}\, f & \text{Somme} \\ \hline \text{1. }\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2} & \text{non} & \text{oui} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{2. }\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3} & \text{oui} & \text{non} & 0 & 2 & 2 \\ \hline \text{3. }\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} & \text{oui} & \text{oui} & 0 & 3 & 3 \\ \hline \text{4. }\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} & \text{non} & \text{non} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}

$\boxed{\text{Dans chaque cas, } \dim \mathrm{Ker}\, f+\dim \mathrm{Im}\, f \text{ vaut la dimension de l'espace de \emph{départ}.}}$ C'est la remarque du cours : ce n'est pas une coïncidence, mais le théorème du rang, qui sera démontré au chapitre suivant. On notera que la troisième application est bijective : c'est le seul cas où l'espace de départ et l'espace d'arrivée ont la même dimension et le noyau est trivial.

Énoncé PDF, p. 2 Corrigé PDF, p. 4 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Applications linéaires

Thèmes

noyau, injectivité et surjectivité

Notions

noyau