Exercice 8

1. Les deux applications se lisent terme à terme. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et deux suites $u$, $v$ : $$\delta(\lambda u+v)_{n}=(\lambda u+v)_{n+1}=\lambda u_{n+1}+v_{n+1}=\big(\lambda\,\delta(u)+\delta(v)\big)_{n}$$ et le calcul est analogue pour $\tau$, dont le terme d'indice $0$ vaut $0$ dans les deux membres. $$\boxed{\delta \text{ et } \tau \text{ sont des endomorphismes de } \mathcal{S}(\mathbb{R}).}$$

2. Pour $\delta$ : on a $\delta(u)=0$ si et seulement si $u_{n+1}=0$ pour tout $n \geqslant 0$, c'est-à-dire $u_{n}=0$ pour tout $n \geqslant 1$, le terme $u_{0}$ restant libre. Pour l'image, soit $v \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ ; la suite $u=(0\,;v_{0}\,;v_{1}\,;\dots)$ vérifie $\delta(u)=v$.

Pour $\tau$ : on a $\tau(u)=0$ si et seulement si $u_{n}=0$ pour tout $n$. Et toute suite de la forme $\tau(u)$ a son premier terme nul ; réciproquement, si $v_{0}=0$, la suite $u=(v_{1}\,;v_{2}\,;\dots)$ vérifie $\tau(u)=v$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \delta=\mathrm{Vect}\big((1\,;0\,;0\,;\dots)\big) \qquad \mathrm{Im}\, \delta=\mathcal{S}(\mathbb{R})}$$

3. La question précédente se relit ainsi, à l'aide du théorème 1 : $$\boxed{\delta \text{ est surjectif et non injectif ; } \tau \text{ est injectif et non surjectif.}}$$

4. Pour toute suite $u$ : $$(\delta \circ \tau)(u)=\delta(0\,;u_{0}\,;u_{1}\,;\dots)=(u_{0}\,;u_{1}\,;\dots)=u$$

$$\boxed{\delta \circ \tau=\mathrm{Id} \qquad\text{tandis que}\qquad \tau \circ \delta \neq \mathrm{Id}}$$ L'application $\tau$ admet donc un inverse à gauche sans être inversible, ce qui confirme une fois de plus que $\mathcal{L}\big(\mathcal{S}(\mathbb{R})\big)$ n'est pas commutatif.

5. On en tire la conclusion générale : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{En dimension infinie, un endomorphisme peut être injectif sans être surjectif,} \\[1mm] \text{ou surjectif sans être injectif.} \end{array}}$$ Au chapitre 4, on avait démontré qu'un endomorphisme injectif d'un groupe fini est automatiquement surjectif. C'est la finitude qui portait tout l'argument, et elle fait ici défaut.