Exercice 9

1. L'application $\varphi$ est linéaire d'après l'exercice 3, et son ensemble d'arrivée est $\mathbb{R}$ : c'est bien une forme linéaire. Son noyau est l'ensemble des $(x\,;y\,;z)$ tels que $x+2y-z=0$, un plan vectoriel, engendré par exemple par $(1\,;0\,;1)$ et $(0\,;1\,;2)$. Enfin $\varphi(1\,;0\,;0)=1$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \varphi=\mathrm{Vect}\big((1\,;0\,;1)\,;(0\,;1\,;2)\big) \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\, \varphi=\mathbb{R}}$$

2. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $K$ non réduit à $\{0_{K}\}$, et soit $a \in F$ non nul. Pour tout $\lambda \in K$, le corps $K$ fournit $a^{-1}$, et : $$\lambda=\big(\lambda a^{-1}\big) \cdot a \in F$$ puisque $F$ est stable par multiplication externe. $$\boxed{\text{Les seuls sous-espaces vectoriels de } K \text{ sont } \{0_{K}\} \text{ et } K.}$$

3. D'après la proposition 2, $\mathrm{Im}\, \varphi$ est un sous-espace vectoriel de $K$. Si $\varphi \neq 0$, alors $\mathrm{Im}\, \varphi \neq \{0_{K}\}$, donc $\mathrm{Im}\, \varphi = K$ d'après la question 2. $$\boxed{\text{Toute forme linéaire non nulle est surjective.}}$$

4. Une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée nulle est constante. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, D=\big\{\text{fonctions constantes}\big\}}$$ Ce noyau n'est pas réduit à la fonction nulle, donc $\boxed{D \text{ n'est pas injective.}}$